蒙特卡羅方法入門

阮一峰發表於2015-07-27

本文透過五個例子，介紹蒙特卡羅方法（Monte Carlo Method）。

一、概述

蒙特卡羅方法是一種計算方法。原理是透過大量隨機樣本，去了解一個系統，進而得到所要計算的值。

它非常強大和靈活，又相當簡單易懂，很容易實現。對於許多問題來說，它往往是最簡單的計算方法，有時甚至是唯一可行的方法。

它誕生於上個世紀40年代美國的"曼哈頓計劃"，名字來源於賭城蒙特卡羅，象徵機率。

二、π的計算

第一個例子是，如何用蒙特卡羅方法計算圓周率π。

正方形內部有一個相切的圓，它們的面積之比是π/4。

現在，在這個正方形內部，隨機產生10000個點（即10000個座標對 (x, y)），計算它們與中心點的距離，從而判斷是否落在圓的內部。

如果這些點均勻分佈，那麼圓內的點應該佔到所有點的 π/4，因此將這個比值乘以4，就是π的值。透過R語言指令碼隨機模擬30000個點，π的估算值與真實值相差0.07%。

三、積分的計算

上面的方法加以推廣，就可以計算任意一個積分的值。

比如，計算函式 y = x2 在 [0, 1] 區間的積分，就是求出下圖紅色部分的面積。

這個函式在 (1,1) 點的取值為1，所以整個紅色區域在一個面積為1的正方形裡面。在該正方形內部，產生大量隨機點，可以計算出有多少點落在紅色區域（判斷條件 y < x2）。這個比重就是所要求的積分值。

用Matlab模擬100萬個隨機點，結果為0.3328。

四、交通堵塞

蒙特卡羅方法不僅可以用於計算，還可以用於模擬系統內部的隨機運動。下面的例子模擬單車道的交通堵塞。

根據 Nagel-Schreckenberg 模型，車輛的運動滿足以下規則。

  • 當前速度是 v 。
  • 如果前面沒車，它在下一秒的速度會提高到 v + 1 ，直到達到規定的最高限速。
  • 如果前面有車，距離為d，且 d < v，那麼它在下一秒的速度會降低到 d - 1 。
  • 此外，司機還會以機率 p 隨機減速， 將下一秒的速度降低到 v - 1 。

在一條直線上，隨機產生100個點，代表道路上的100輛車，另取機率 p 為 0.3 。

上圖中，橫軸代表距離（從左到右），縱軸代表時間（從上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情況。

可以看到，該模型會隨機產生交通擁堵（圖形上黑色聚集的部分）。這就證明了，單車道即使沒有任何原因，也會產生交通堵塞。

五、產品厚度

某產品由八個零件堆疊組成。也就是說，這八個零件的厚度總和，等於該產品的厚度。

已知該產品的厚度，必須控制在27mm以內，但是每個零件有一定的機率，厚度會超出誤差。請問有多大的機率，產品的厚度會超出27mm？

取100000個隨機樣本，每個樣本有8個值，對應8個零件各自的厚度。計算發現，產品的合格率為99.9979%，即百萬分之21的機率，厚度會超出27mm。

六、證券市場

證券市場有時交易活躍，有時交易冷清。下面是你對市場的預測。

  • 如果交易冷清，你會以平均價11元，賣出5萬股。
  • 如果交易活躍，你會以平均價8元，賣出10萬股。
  • 如果交易溫和，你會以平均價10元，賣出7.5萬股。

已知你的成本在每股5.5元到7.5元之間，平均是6.5元。請問接下來的交易，你的淨利潤會是多少？

取1000個隨機樣本，每個樣本有兩個數值：一個是證券的成本（5.5元到7.5元之間的均勻分佈），另一個是當前市場狀態（冷清、活躍、溫和，各有三分之一可能）。

模擬計算得到，平均淨利潤為92, 427美元。

七，參考連結

（完）

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