今天的主題是數學，尤其是要把向量說一說
開篇廢話
王全安又進去了，最近不太好引用島國文化來開篇，來點民族的。
恰逢中秋，讓我想起了一首膾炙人口的水調歌頭。
明月幾時有，把酒問群友。
不知這次版本，今晚能出否。
我欲推倒重構，又恐專案經理，深夜對我吼。
增刪改程式碼，好像沒儲存…..
深呼吸，看螢幕，淚在流。
不應有恨，誰沒忘記存程式碼？
人有悲歡離合，碼有丟失衝突，此事古難全。
但願人長久，leader別發現。
小夥伴們中秋都是怎麼過的？有沒有專案經理深吼你呢？
歡迎來德雲社聽相聲，哦不，來聽李總講故事，好像也不對，我們是一個玩程式碼系列，圖形學方向。
圖形學是個綜合學科，他的很大一部分都是3D數學。
圖形學用的3D數學，客戶端邏輯用的3D數學，有什麼不一樣的？
我不知道分界線在哪裡，我只知道做遊戲客戶端，3D數學無處不在。
既然躲不開，就讓我們來好好享受一番吧。
快速提高班
現在，教大家一些快速提高自己業務（zhuangbi）水平的方法。
今天講提高業務水平的最後一個要訣，悟。
悟是你一定要鑽研出一些你自己的觀點。百度搜不到的東西。
這樣和別人交流業務的時候，可以極大的提高別人對你的印象。
忍、持、悟。這次已經把全套祕籍都教給你了，讓我們來回顧一下。
忍：不要主動去教別人，別人有疑惑會找你，主動去教容易招致反感。
持：要有選擇的回答，拿不準的東西不要亂答，提升準確性。
悟：要有自己的觀點。
學會這一套，業務（zhuangbi）水平就會一發不可收拾。
現在給大家簡單的介紹一下Unity3D的數學庫，對提升業務水平有幫助哦。
基本數學工具：
UnityEngine.Mathf
集中了float型數值計算的相關數學函式的靜態型別，比如cos sin sqlr
相對System.Math 更加實用，因為我們最長使用的資料型別是float，Mathf會更方便。
UnityEngine.Random
隨機數產生器，和System.Random 使用方法不同，原理一樣，只是靜態化了，可以少寫兩行。
特定的數學工具:
特定的數學工具對應的數學函式就在這個型別內
Vector2 Vector3 Vector4
表示向量或者頂點，他們的相關計算函式都在Vector2 Vector3 Vector4內。
比如Vector3.Cross 叉積 Vector3.Dot 點積
Rect
表示一個2D矩形區域
Bounds
表示一個3D的方塊區域
Matrix4X4
表示矩陣，矩陣用土的掉渣的方式表示一個空間變換，旋轉跳躍我眯著眼。
Quaternion
表示四元數，四元數用土的掉渣的方式表示一個旋轉，這個我們文後會介紹。
常用的數學工具就這些，當然還有float，這個我們最最常用的數學工具。
理解計算的意義
說到數學，對很多人來說是幫助睡眠小助手。
睡前兩行數學書，包你一夜好睡眠。
確實對著那些名詞，是會讓人混混欲睡的。
現在開始上圖片。
上錯圖了，不好意思
阿基米德說：給我一個支點，我就能撬動地球
卡馬克說：給我一個畫素，我就能弄一個3D引擎
李總說：……….
偉人們告訴我們，要學真東西就得從零單排。
我準備了一組例子
下文所提的例子可以線上使用
http://lightszero.github.io/basemath/outweb.html
例子程式碼可以從如下GITHUB地址取得
https://github.com/lightszero/BlockFun/tree/master/unity/basemath
隨機數有什麼用
隨機對應固定，產生更多自然的變化。但是隨機數也是受控的，這是概率論方面的問題了，
我們準備了兩個例子，一個是用隨機數來求圓周率
可以用隨機數來求圓周率
隨機在貼圖上畫點，把圓內和圓外的分別統計出來，可知圓的面積是0.5*0.5*PI，正方形的面積是1*1.
則PI = 圓的面積/方的面積*4.
畫的總點數可以認為是方的面積
落在圓內的點數可以認為是圓的面積
另一個是用隨機數來分佈角色
圖中一螢幕的蒼老師，是用隨機數來分佈的，你每次開啟都會不一樣。
向量
向量是本篇的重點
Vector3是一個資料結構，既可以表示標量點，也可以表示一個向量。
你希望他是什麼他就是什麼，這也是很多小夥伴困惑的地方。
這其實是我們在程式設計中只關心數值所產生的一個普遍問題。
想想float，單位和功能並不在其中。
表達縮放，float可以，表達速度，float 可以，表達長度，float可以，表達時間，float可以。
賦予資料結構何等意義，是人類該考慮的問題。
對於座標的加減法，這些自不必提，我們來釐清一下點積和叉積這兩個非常重要的運算。
向量點積的意義:
還記得盟軍敢死隊把敵軍的視野標識出來誕生的玩法麼？判斷我們的豬腳是否暴露在敵人的圓錐形視野中，就要依靠點積。
點積的意義主要在於求出兩個向量的夾角，試想一下，夾角和視野的關係。
在shader的光照模型中，用三角面的法線和光線方向確定光強，用向量求夾角，這就是點積的意義。
關於點積我們準備了一個例子
一螢幕的蒼老師，滑鼠的位置表示紅音老師的目光方向。
紅音老師的目光範圍是左右30度。
紅音老師目光所及的位置蒼老師是白色的，看不到的位置蒼老師是紅色的。
向量叉積的意義：
如果你有一隊飛機，在飛行過程中想讓他們保持隊形，向量叉積的計算就剛好可以滿足你，叉積求出和兩個向量垂直的向量。
利用這個特性可以隨時計算出隊長的前後左右上下正方向，當然也可以按別的什麼東西對齊。
在直接繪圖相關的計算中，叉積的一大應用是自動計演算法線。與一個三角面的任意兩邊垂直的向量一定與這個三角面垂直，就是這個三角面的法線。
關於叉積我們也準備了一個例子
無論紅音老師看向哪個方向，紅音軍團總會保持陣型屹立在紅音老師的周圍
插插插
插值，可以說是客戶端開發中最主要的思想。
是動畫的基礎思想，對Vector3來說，插值有著兩種截然不同的意義。
因為Vector3同時表達兩種意義，作為標量他表示3D空間中的一點。
對點和點的座標插值，就是兩點間的一條直線。
延既定路線運動，基本都是對點的插值而來
作為向量Vector3表達一個方向，對方向和方向插值，就是一個旋轉扇面。
比如經典的小蛤蟆，他的臉是你指哪裡就轉向哪裡
但是作為向量時直接使用Vector3插值，會得到奇異的結果。
如圖，從方向A插值到方向B，直接用Vector插值，會導致中間值的長度改變，在AB180度時，再想想這個奇異的結果。
對向量的插值，就要依靠四元數這個工具了，後文我們會順便提一下。
向量的插值和頂點的插值，在直接繪圖的計算中，有一個很典型的場合，骨骼動畫。
我們也準備了一個插值的例子
在上面的基礎上改為紅音老師滑鼠點選後才轉向。
會通過插值逐漸轉向
但是紅音軍團為了快速完成保衛任務，採用直線移動，最後會保持陣型不變。
紅音軍團通過座標插值移動。
本篇講到這裡就結束了，再會。後面捎帶介紹一下其他的數學工具。
向量弄清楚了，都不是問題。
矩陣
記得麼，我們曾介紹過，矩陣是一個土的掉渣的數學工具
矩陣的意義是一個空間變換：旋轉、跳躍、我眯著眼。
矩陣可以描述任何一種空間變換。大約有旋轉、平移、縮放這些資訊。
雖然矩陣，也可以描述出梯形變換和平行四邊形推倒的效果，並不常用。
一個3*4矩陣內部儲存了旋轉、平移、縮放的引數。
可以儲存一個矩陣，描述一個物體在另一個空間中的位置。
插插插
遺憾的是，矩陣並不適合於插值。
僅有平移可以直接插值。
矩陣和Vector一樣，對於旋轉直接數學插值會產生奇異結果。
對於縮放，矩陣也會產生一個不明顯的錯誤。
如果模型進行xy軸不均勻的縮放，那麼同一個矩陣並不適合這個模型的法線，會導致法線和表面不再垂直。
這也是為什麼光照模型中要使用逆轉置矩陣的原因。
四元數
四元數也是一個土的掉渣的描述工具，他描述的資訊叫做軸角對。
軸角對，就是一個旋轉軸，加一個旋轉角度。
設軸向量為n，旋轉角度為t
四元數的值為：
x = n.x * sin(t / 2)
y = n.y * sin(t / 2)
z = n.z * sin(t / 2)
w = cos(t / 2)
至於超複數那套解釋，知道一下用於提升業務（zhuangbi）水平就行了。
其實四元數這麼存，只是為了四元數乘法直接得到兩個旋轉連線後得到的新的軸角對。
四元數這樣儲存，可以讓四元數乘法直接變成旋轉連線工具。
紅色的q1表示一個旋轉，綠色的q2表示一個旋轉，他們的乘法結果就是藍色的q3。
四元數表達的資訊是一個旋轉變換，可以直接存一個四元數作為物體的旋轉量。
另外插入一點個人的意見，也許滿是無知與偏見，聽一下就行了：
四元數發明於1843年，圖形學誕生於1963年，可是1985年四元數才被用於表達旋轉並逐漸推廣。
用於圖形學中的四元數，最重要的價值就是軸角對的一種計算工具。
我對超複數、非零四元數乘法環共軛作用實現轉動那套並不信服，就像是馬後炮一樣。
如早認識到非零四元數乘法環共軛作用實現轉動，又怎麼會花了二十幾年才找到一個表達旋轉的適合方法。
插插插
四元數對於旋轉的描述就是旋轉軸+角度，沒有比他更適更針對旋轉插值的了。
骨骼動畫中對於骨骼旋轉的插值計算，都是使用四元數插值的。
區域
區域就是包圍盒
有兩種常用的形式
Axis Aligned Bounding Box
oriented bounding box
AABB 軸對齊包圍盒。
OBB 定向包圍盒。
是為了簡化碰撞和包圍測試的一種方法。將一堆東西包在一個盒子裡
我找到一張圖，說明的很形象，把小人包起來，判斷小人在不在一個區域，判斷他的盒子就快的多。
OBB是小人在自己空間中的盒子，他不隨小人的旋轉跳躍而變化。
AABB是小人在世界空間中的盒子，小人旋轉就要重新生成。
除了碰撞盒，還有其他常用的包圍形式
2D的Rect
3D的OBB AABB 還有碰撞球，膠囊體等等。
全文完。順便爆照
a