先介紹八數碼問題：
我們首先從經典的八數碼問題入手，即對於八數碼問題的任意一個排列是否有解？有解的條件是什麼？
我在網上搜了半天，找到一個十分簡潔的結論。八數碼問題原始狀態如下：
1 2 3
4 5 6
7 8
為了方便討論，我們把它寫成一維的形式，並以0代替空格位置。那麼表示如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 0
通過實驗得知，以下狀態是無解的（交換了前兩個數字1 2）：
2 1 3 4 5 6 7 8 0
八數碼問題的有解無解的結論：
一個狀態表示成一維的形式，求出除0之外所有數字的逆序數之和，也就是每個數字前面比它大的數字的個數的和，稱為這個狀態的逆序。
若兩個狀態的逆序奇偶性相同，則可相互到達，否則不可相互到達。
由於原始狀態的逆序為0（偶數），則逆序為偶數的狀態有解。
也就是說，逆序的奇偶將所有的狀態分為了兩個等價類，同一個等價類中的狀態都可相互到達。
簡要說明一下：當左右移動空格時，逆序不變。當上下移動空格時，相當於將一個數字向前（或向後）移動兩格，跳過的這兩個數字要麼都比它大（小），逆序可能±2；要麼一個較大一個較小，逆序不變。所以可得結論：只要是相互可達的兩個狀態，它們的逆序奇偶性相同。我想半天只能說明這個結論的必要性，詳細的證明請參考後面的附件。
>推廣二維N×N的棋盤
我們先來看看4×4的情況，同樣的思路，我們考慮移動空格時逆序的變化情況。
1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B C
D E F
我們用字母A~F代替數字10~15。同樣地，當左右移動的時候，狀態的逆序不改變。而當上下移動的時候，相當於一個數字跨過了另外三個格子，它的逆序可能±3或±1，逆序的奇偶性必然改變。那麼又該如何
1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B
C D E F
可以證明，以上狀態是一個無解的狀態（將C移到了第四行）。該狀態的逆序為0，和原始狀態相同，但是它的空格位置在第三行。若將空格移到第四行，必然使得它的逆序±1或±3，奇偶性必然改變。所以它是一個無解的狀態。
然而以下狀態就是一個有解的狀態（交換了前兩個數字1 2）：
2 1 3 4
5 6 7 8
9 A B
C D E F
這個狀態的逆序為1，和原始狀態奇偶性不同，而空格位置在第三行。由於空格每從第三行移動到第四行，奇偶性改變。則該狀態的可到達原始狀態。
通過觀察，得出以下結論：
N×N的棋盤，N為奇數時，與八數碼問題相同。
N為偶數時，空格每上下移動一次，奇偶性改變。稱空格位置所在的行到目標空格所在的行步數為空格的距離（不計左右距離），若兩個狀態的可相互到達，則有，兩個狀態的逆序奇偶性相同且空格距離為偶數，或者，逆序奇偶性不同且空格距離為奇數數。否則不能。
也就是說，當此表示式成立時，兩個狀態可相互到達：(狀態1奇偶性==狀態2奇偶性)==(空格距離%2==0)。
此結論只是由觀察得知的，但是還沒證明過，請高手指點。
另外再詳細說明一下，無論N是奇數還是偶數，空格上下移動，相當於跨過N-1個格子。那麼逆序的改變可能為一下值±N-1，±N-3，±N-5 …… ±N-2k-1。當N為奇數數時N-1為偶數，逆序改變可能為0；當N為偶數時N-1為奇數，逆序的改變不能為0，只能是奇數，所以沒上下移動一次奇偶性必然改變。
>推廣到三維N×N×N
其實，三維的結論和二維的結論是一樣的。
考慮左右移動空格，逆序不變；同一層上下移動空格，跨過N-1個格子；上下層移動空格，跨過N^2-1個格子。
當N為奇數時，N-1和N^2-1均為偶數，也就是任意移動空格逆序奇偶性不變。那麼逆序奇偶性相同的兩個狀態可相互到達。
當N為偶數時，N-1和N^2-1均為奇數，也就是令空格位置到目標狀態空格位置的y z方向的距離之和，稱為空格距離。若空格距離為偶數，兩個逆序奇偶性相同的狀態可相互到達；若空格距離為奇數，兩個逆序奇偶性不同的狀態可相互到達。
討論到這裡，題目問題也就解決了。
另外水木清華BBS論壇中有人提到：
8數碼難題搜尋時，有時候是無解的，8數碼問題總共有9!種狀態，如果用計算機一
個一個去搜尋去判斷哪些有解哪些誤解，無疑要花費很長的時間，也沒必要。作為一種
智力遊戲，玩之餘，我在想，能否通過事先的分析來判斷哪些問題有解，哪些問題無解
呢？對於有解的問題，是否能通過一種固定的步驟來得到解？經過昨天晚上和今天的仔
細分析，我覺得我已經得到了這個問題的初步解答，下面我公佈一下我得到的結果和證
明，拋磚引玉，如果大家發現其中有什麼問題，歡迎來我宿舍一起討論或者給我發Emai
l。
我的證明分好幾個步驟，懇請大家能夠耐心的看下去，我會盡量說得簡潔一點。
一、我的結論
我們將九宮格按行排成一行共九個數(空格也佔一個位置，在本文種，我用@表示空
格)。比如： 1 2 3 4 @ 5 ＝> 1 2 3 4 @ 5 6 7 8 6 7 8 這樣
，九宮格的每一種狀態和上圖的行之間是一一對應的。在代數上冊我們學過逆序的概念
，也就是對於任意一對數，如果前面的數比後面的數大，則為一對逆序。對於一個序列
，我們定義其逆序奇偶性如下： 如果其中有奇數對逆序，稱之逆序奇；如果其中有
偶數對逆序，稱之為逆序偶。這樣，對於1，2，...，n這n個數，其所有的排列可以分為
兩類，逆序奇類和逆序偶類。相對應的，九宮圖(除去空格)也有它的奇偶性，我們的定
理是：
所有的奇九宮圖之間是可達的，所有的偶九宮圖之間也是可達的，但奇九宮圖和偶
九宮圖之間互不可達。
二、問題的轉化
為了證明上述定理，我想先對問題進行一下轉化。我定義兩種行序列的變換：一種
是空格@和相鄰的數對換，一種是空格@和前後隔兩個數的數之間的對換，前者對應著空
格在九宮圖中的左右移動，後者對應著空格在九宮圖中的上下移動。
引理一：在上述的兩種對換下，序列的奇偶性不改變。 這個引理很容易證明。
首先，相鄰的對換肯定不改變奇偶性；其次，隔兩格的對換也不改變奇偶性，它相當於
三個數的輪換，我們可以自己列舉一下幾種情況驗證一下。這就說明了奇九宮圖和偶九
宮圖之間是互不可達的。
引理二：轉化後行序列在上面定義的兩種對換下的任意操作，可以轉換成九宮圖中
空格的合法變化。 這個引理也是比較容易證明的。我們只要證明如下的幾種狀態之
間是互達的： a b c a b @ a b c a b c @ d e <=>
c d e d e f <=> d e @ f g h f g h @ g h f
g h 通過計算機搜尋，可以發現上面兩對狀態之間的確是互達的。從而，我們可以
假定上面兩種狀態之間的轉換可以用行序列中的兩種鄰對換來代替。
想提一點的是，九宮圖之間的變換是可逆的。下面，到了問題的核心部分了。
引理三：所有的奇狀態可以轉換為 @ 1 2 3 4 5 6 7 8, 所有的偶狀態
可以轉換為 @ 2 1 3 4 5 6 7 8. 要證明這個引理，得分幾個步驟。我的想法是先設
法把8移到最後一個，然後8保持不動(注意，我們這裡的不動只是形式上不動，但不管怎
樣，我們的每一個變換後，8還是保持在最後一個，餘類似)，再將7移到8之前，然後，
保持7和8不動，依次移動6，5，4，3，得到 * * * 3 4 5 6 7 8這裡 * * *是 @ 1 2 的
一個排列。到這裡，我想要得到前面的兩種狀態之一是顯然的了。下面，我說明，上面
的想法是可以實現的。如下：
1. 對於 a b c @ ，我們可以將其中的任意一個移到
最後，並且對變換僅限於這四個位置上。顯然，對於a，c是一步就可以做到的。對於b，
步驟如下： a b c @ -> @ b c a -> b @ c a -> b c @ a -> b c a @ -> @ c a b
2. 先把要移到最後位置的那個數移到最後四個位置之一，然後再將空格移到最後一
個位置，用1的方法將待移動的數變換到最後一個位置。迴圈這樣做即可。 引理三證
畢。
證完了這三個引理，定理的成立就是顯然的了。首先，將奇偶性相同的兩種狀態都
變換到上述兩種標準狀態之一，然後對其一去逆變換即可。以上是我的所有證明，有些
地方在計算機上寫起來不是太清楚。
ps:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3600
#include <stdio.h> int a[90010],b[90010],nxs; void mergeSort(int first,int last) { int mid,i; int begin,m,end; if(first+1<last) { mid=(first+last)/2; //merge(first,mid,last); begin=first; m=mid; i=first; mergeSort(first,mid); mergeSort(mid,last); while(begin<mid && m<end) { if(a[begin]<=a[m]) { b[i++]=a[begin++]; } else { b[i++]=a[m++]; //for(i=beginA;i<=mid;i++) //printf("nixuyou:%d,%d\n",a[i],a[beginB]); nxs+=mid-begin; } } while(begin<mid) { b[i++]=a[begin++]; } while(m<last) { b[i++]=a[m++]; } /*for(i=0;i<j;i++) { a[first+i]=b[i]; }*/ while(first<last) { a[first]=b[first++]; } } } int main() { int n,sum,i,iwz,hangshu,hangshucha,panduanshu,j,x; while(scanf("%d",&n)==1 && n) { sum=n*n; j=0; for(i=0;i<sum;i++) { scanf("%d",&x); if(x==0) { iwz=i; } else { a[j]=x; j++; } } nxs=0; mergeSort(0,sum-1); //printf("nxs=%d\n",nxs); if(n%2==1) //n為奇數 { if(nxs%2==0) printf("YES\n"); else printf("NO\n"); } else //n為偶數 { hangshu=iwz/n; hangshucha=n-1-hangshu; //printf("hangshucha=%d\n",hangshucha); panduanshu=nxs+hangshucha; if(panduanshu%2==0) printf("YES\n"); else printf("NO\n"); } } return 0; }
//題解：八數碼問題，逆序數 //程式碼： #include<stdio.h> #define SIZE_N 90010 int ary[2][SIZE_N]; int sum,len; void reverseNum(int l,int h,int idx) { int i,j,k; int mid,idxt; idxt = 1 - idx; if(l == h) { ary[1][l] = ary[0][l]; return ; } mid = (l + h) / 2; reverseNum(l, mid, idxt); reverseNum(mid+1, h, idxt); for(i = j = l,k = mid+1;i <= mid && k <= h;) { if(ary[idx][i] < ary[idx][k]) { ary[idxt][j++] = ary[idx][i]; sum += k - mid - 1; i ++; } else { ary[idxt][j++] = ary[idx][k]; k ++; } } for(i;i <= mid;i ++) { ary[idxt][j++] = ary[idx][i]; sum += h - mid; } for(k;k <= h;k ++) { ary[idxt][j++] = ary[idx][k]; } } int main() { int n; int i; while(scanf("%d",&n),n != 0) { len = n * n; for(i = 0;i < len;i ++) { scanf("%d",&ary[0][i]); if(ary[0][i] == 0) { if(!(n & 1)) { sum = (n - i / n - 1); } else { sum = 0; } i --; len --; } } if(n == 1) { puts("YES"); continue; } reverseNum(0, len-1, 0); if(sum & 1) { puts("NO"); } else { puts("YES"); } } return 0; }