NOIP2006能量項鍊[環形DP]

Candy?發表於2016-08-27

題目描述

在Mars星球上，每個Mars人都隨身佩帶著一串能量項鍊。在項鍊上有N顆能量珠。能量珠是一顆有頭標記與尾標記的珠子，這些標記對應著某個正整數。並且，對於相鄰的兩顆珠子，前一顆珠子的尾標記一定等於後一顆珠子的頭標記。因為只有這樣，通過吸盤（吸盤是Mars人吸收能量的一種器官）的作用，這兩顆珠子才能聚合成一顆珠子，同時釋放出可以被吸盤吸收的能量。如果前一顆能量珠的頭標記為m，尾標記為r，後一顆能量珠的頭標記為r，尾標記為n，則聚合後釋放的能量為m*r*n（Mars單位），新產生的珠子的頭標記為m，尾標記為n。

需要時，Mars人就用吸盤夾住相鄰的兩顆珠子，通過聚合得到能量，直到項鍊上只剩下一顆珠子為止。顯然，不同的聚合順序得到的總能量是不同的，請你設計一個聚合順序，使一串項鍊釋放出的總能量最大。

例如：設N=4，4顆珠子的頭標記與尾標記依次為(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我們用記號⊕表示兩顆珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k兩顆珠子聚合後所釋放的能量。則第4、1兩顆珠子聚合後釋放的能量為：

(4⊕1)=10*2*3=60。

這一串項鍊可以得到最優值的一個聚合順序所釋放的總能量為

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入的第一行是一個正整數N（4≤N≤100），表示項鍊上珠子的個數。第二行是N個用空格隔開的正整數，所有的數均不超過1000。第i個數為第i顆珠子的頭標記（1≤i≤N），當i<N< span>時，第i顆珠子的尾標記應該等於第i+1顆珠子的頭標記。第N顆珠子的尾標記應該等於第1顆珠子的頭標記。

至於珠子的順序，你可以這樣確定：將項鍊放到桌面上，不要出現交叉，隨意指定第一顆珠子，然後按順時針方向確定其他珠子的順序。

輸出格式：

輸出只有一行，是一個正整數E（E≤2.1*10^9），為一個最優聚合順序所釋放的總能量。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：
4
2 3 5 10
輸出樣例#1：
710

說明

NOIP 2006 提高組 第一題

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

一個環上的矩陣鏈乘

f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1])，i降序j升序，j滿足j<=2*n&&j-i<n

主要問題在於區間可能跨n,1，可以用取模搞一搞，但還有更簡單的做法

1.列舉從哪裡斷開，複雜度*n

2.把序列在後面複製一份，這樣所有跨過兩端的都會計算到了

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=105;
int n,a[N<<1],f[N<<1][N<<1],ans=0;
void dp(){
    for(int i=2*n-1;i>=1;i--){
        for(int j=i+1;j<=2*n&&j-i<n;j++)
            for(int k=i;k<j;k++)
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);
        //ans=max(ans,f[i][i+n-1]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i][i+n-1]);
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);a[i+n]=a[i];
    }
    dp();
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

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