博弈論入門之nim遊戲

自為風月馬前卒發表於2018-02-22
遊戲

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nim遊戲

nim遊戲
有兩個頂尖聰明的人在玩遊戲，遊戲規則是這樣的：
有\(n\)堆石子，兩個人可以從任意一堆石子中拿任意多個石子(不能不拿)，沒法拿的人失敗。問誰會勝利

nim遊戲是巴什博奕的升級版(不懂巴什博奕的可以看這裡)

它不再是簡單的一個狀態，因此分析起來也棘手許多

如果說巴什博奕僅僅博弈論的一個引子的話，

nim遊戲就差不多算是真正的入門了

博弈分析

面對新的博弈問題，我們按照套路，從簡單的情況入手

當只有一堆石子的時候，先手可以全部拿走。先手必勝

當有兩堆石子且石子個數相同的時候，先手不論拿多少，後手都可以從另一堆中拿同樣多的石子，先手必敗，否則先手必勝

當有三堆的時候呢？

當有\(n\)堆的時候呢？

這樣玩下去確實是很繁瑣，不過前輩們總結出了一條非常厲害的規律！

定理解析

定理

對於nim遊戲，前輩們發現了一條重要的規律！

當\(n\)堆石子的數量異或和等於\(0\)時，先手必勝，否則先手必敗

證明

設\(\oplus\)表示異或運算

nim遊戲的必敗態我們是知道的，就是當前\(n\)堆石子的數量都為零

設\(a[i]\)表示第\(i\)堆石子的數量，那麼當前局面就是

$0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus \dots \oplus 0 = 0 $

  • 對於先手來說，如果當前局面是

\(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n = k\)

那麼一定存在某個\(a_i\)，它的二進位制表示在最高位\(k\)上一定是\(1\)

我們將\(a_i \oplus k\)，這樣就變成了

\(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n \oplus k = 0\)

此時先手必勝

  • 對於先手來說，如果當前局面是

\(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n = 0\)

那麼我們不可能將某一個\(a_i\)異或一個數字後使得

\(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n = 0\)

此時先手必敗

程式碼

#include<cstdio>
using namespace std;
int a[10001]; 
int main()
{
    int Test;
    scanf("%d",&Test);
    while(Test--)
    {
        int ans=0,N;
        scanf("%d",&N);
        for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=N;i++) ans=ans^a[i];
        ans==0?printf("No\n"):printf("Yes\n");
    }
    return 0;
}

題目

臨時還沒有做太多題目，以後做多了慢慢補吧

題解

估計沒幾個人能一眼秒吧233

題解

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