洛谷P3195 [HNOI2008]玩具裝箱TOY（單調佇列優化DP）

題目描述

P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號為1...N的N件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度為Ci.為了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容器中有多個玩具，那麼兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一個容器中，那麼容器的長度將為 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 製作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度為x,其製作費用為(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以製作出任意長度的容器，甚至超過L。但他希望費用最小.

輸入輸出格式

輸入格式：

 

第一行輸入兩個整數N，L.接下來N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

 

輸出格式：

 

輸出最小費用

 

輸入輸出樣例

輸入樣例#1： 複製

5 4
3
4
2
1
4

輸出樣例#1： 複製

1



單調佇列優化DP
具體思路就是列出DP方程
$dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j+L)^2)$
然後證明決策單調性，之後根據得到的公式轉移。
推倒過程懶得寫了
推薦一篇寫的炒雞詳細的部落格
http://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5968118.html

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long 
const int MAXN=1e5+10,INF=1e8+10;
using namespace std;
inline char nc()
{
    static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin)),p1==p2?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    char c=nc();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=nc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=nc();}
    return x*f;
}
int N,L;
int a[MAXN],sum[MAXN],f[MAXN],dp[MAXN];
int Q[MAXN],l=1,r=1;
double slope(int j,int k)
{
    return (dp[j]-dp[k]+(f[j]+L)*(f[j]+L)-(f[k]+L)*(f[k]+L))/(2.0*(f[j]-f[k]));
}
main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif
    N=read();L=read();L++;//C=L+1
    for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i],f[i]=sum[i]+i;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        while(l<r&&slope(Q[l],Q[l+1])<=f[i]) l++;
        dp[i]=dp[Q[l]]+(f[i]-L-f[Q[l]])*(f[i]-L-f[Q[l]]);
        while(l<r&&slope(Q[r-1],Q[r])>slope(Q[r],i)) r--;
        Q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",dp[N]);
    return 0;
}