中國剩餘定理詳解

自為風月馬前卒發表於2018-02-07

引入

我國古代數學著作《孫子算經》中有一道題目,它的描述是這樣的

今有物不知其數,三三數之餘二;五五數之餘三;七七數之餘二。問物幾何?

這道題用現代數學理論來看,無非就是解一個方程

\begin{cases}x\equiv 2\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 3\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 2\left( mod\ 7\right) \end{cases}

那麼這個方程怎麼解呢?

這需要用到我們祖先的偉大創造——中國剩餘定理

中國剩餘定理

在很久以前,數學領域還沒有像擴充套件歐幾里得這種東西。對於這個問題,我們祖先採用了構造的方法

構造過程如下

首先考慮三個特殊方程

\begin{cases}x\equiv 1\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 7\right) \end{cases}

\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 1\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 7\right) \end{cases}

\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 1\left( mod\ 7\right) \end{cases}

他們的特殊解

那第一個方程來說,它實際上等同於解一個同餘式

 $$35y\equiv 1\left( mod\ 3\right) $$

因為$x$一定是$5*7=35$的倍數

化簡一下當面的式子

$$2y\equiv 1\left( mod\ 3\right) $$

我們不難得出解$y=2$,此時$x=70$

同理,對於第二第三個式子我們可以運用相同的方法求解

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=70\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=21\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=15$$

那麼最終的答案為

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$=2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 23\left( mod\ 105\right)$$

我們這樣就可以求出解了。

但是這僅僅是三個式子的情況,如果推廣到$r$個呢?

其實是一樣的,都是利用構造的手段。

下面我們來推廣一下。

設有$r$個同餘式,其中$m_i$兩兩互素,注意$m$必須兩兩互素,否則答案錯誤。其實不互素也可以搞不過要用更神奇的東西

設$N=\prod ^{r}_{i=1}m_{i}$

對於同餘方程組

$$\begin{cases}x\equiv b_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv b_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv br\left( mod\ m_r\right) \end{cases}$$

在模$N$同餘的意義下有唯一解

 

這個方程怎麼解呢?

我們仍然像前面一樣,考慮構造

$$\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ m_{1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 0\left( mod\ m_{i-1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 1\left( mod\ m_{i}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 0\left( mod\ m_{i+1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv0\left( mod\ M_{r}\right) \end{cases}$$

像上面那樣,我們令$x=(N/m_i)*y$

那麼我們現在需要解出

$\left( N/m_{i}\right) y\equiv 1\left( mod\ m_{i}\right) $

這個東西怎麼搞呢?

聰明的你肯定已經知道啦,這不就是個逆元嘛,想怎麼搞就怎麼搞

如果你不知道怎麼搞的話可以看這裡

那麼方程的解為$x_{0}=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots +b_{r}x_{r}\left( mod\ N\right)$

怎麼樣?似不似很簡單?

 

例題

有了上面的知識程式碼應該不難寫

放一道水題

http://poj.org/problem?id=1006

題解(很久之前做的)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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