注意：歐幾里得演算法和擴充套件歐幾里得演算法是解決不同問題的兩種，其中擴充套件歐幾里得演算法需要用到歐幾里得演算法
update in 2018.8.22：補充歐幾里得演算法及其相關證明
歐幾里得演算法
歐幾里得演算法是用來求$(a, b)$的最大公約數
若$d \mid a$且$d \mid b$，則稱$d$為$(a, b)$的公約數
在$(a, b)$的公約數中，最大的$d$成為$(a, b)$的最大公約數
設$gcd(a, b)$表示$(a, b)$的最大公約數
性質1：$gcd(a, b) = gcd(a - b, b)$
證明：
不妨設$a > b$，$d = gcd(a, b)$
那麼$a = dx$，$b = dy$。其中$x > y$
那麼$a - b = d(x - y)$
即$gcd(a, b ) = gcd(dx, dy) = gcd(d(x - y), dy) = d = gcd(a - b, b)$
性質2：$gcd(a , b) = gcd(a \% b, b)$
證明：由性質1及模運算的性質不難得到
這樣直接遞迴計算即可，每次遞迴都有一個數減小一半
因此複雜度為$log(a + b)$
擴充套件歐幾里得演算法
用途
當我們已知$a,b$
擴充套件歐幾里得演算法可以求出滿足$a*x+b*y=gcd(a,b)$的$(x,y)$解集
$gcd(a,b)$表示$a,b$的最大公約數
前導知識
上面有證明。
$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
$gcd(a,0)=0$
$a\%b=a-a/b*b$
推導過程
其實擴充套件歐幾里得的推導過程挺自然的
$a*x+b*y$
$=gcd(a,b)$
$=gcd(b,a\%b)$
$=b*x+(a\%b)*y$
$=b*x+(a-a/b*b)*y$
$=b*x+a*y-a/b*b*y$
$=a*y+b*x-a/b*b*y$
$=a*y+(x-y*a/b)*b$
這樣不斷的遞迴下去
當$b=0$時
$x=1,y=0$
程式碼
注意：
我們在求$(x-y*a/b)$的時候需要用到上一層的$x$
但此時上一層$x$已經被賦值成了$y$
所以我們需要開一箇中間變數來記錄上一層的$x$
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(!b) {x = 1; y = 0; return a;} int r = exgcd(b, a % b, x, y); int tmp = x; x = y, y = tmp - a / b * y; return r; }
應用
1
擴充套件歐幾里得最重要的應用就是求形如$a*x+b*y=c$的解
那麼如何求呢？
首先，這個方程能夠能力的條件是$c\%gcd(a,b)=0$，這個應該比較顯然
根據前面將的擴充套件歐幾里得演算法
我們可以先求出$a*x_0+b*y_0=gcd(a,b)$的解$x_0,y_0$
然後方程兩邊同時除以$gcd(a,b)$
就得到$a*x_0/gcd(a,b)+b*y_0/gcd(a,b)=1$的解
再在方程兩邊同乘$c$
就得到了方程
$a*x_0/gcd(a,b)*c+b*y_0/gcd(a,b)*c=c$
是不是很簡單？
2
若$gcd(a,b)=1$，且$x0,y0$為$a*x+b*y=c$的一組解，則該方程的任一一解可以表示為
$x=x_0+b*t,y=y_0-a*t$
證明:
$a*x+b*y$
$=a*(x_0+b*t)+b*(y_0-a*t)$
$=a*x_0+a*b*t+b*y_0-a*b*t$
$=a*x_0+b*y_0$
例題
根據題目要求列出等式，化簡即可