歐幾里得演算法與擴充套件歐幾里得演算法

注意：歐幾里得演算法和擴充套件歐幾里得演算法是解決不同問題的兩種，其中擴充套件歐幾里得演算法需要用到歐幾里得演算法

update in 2018.8.22：補充歐幾里得演算法及其相關證明

歐幾里得演算法

歐幾里得演算法是用來求$(a, b)$的最大公約數

若$d \mid a$且$d \mid b$，則稱$d$為$(a, b)$的公約數

在$(a, b)$的公約數中，最大的$d$成為$(a, b)$的最大公約數

設$gcd(a, b)$表示$(a, b)$的最大公約數

性質1：$gcd(a, b) = gcd(a - b, b)$

證明：

不妨設$a > b$，$d = gcd(a, b)$

那麼$a = dx$，$b = dy$。其中$x > y$

那麼$a - b = d(x - y)$

即$gcd(a, b ) = gcd(dx, dy) = gcd(d(x - y), dy) = d = gcd(a - b, b)$

性質2：$gcd(a , b) = gcd(a \% b, b)$

證明：由性質1及模運算的性質不難得到

這樣直接遞迴計算即可，每次遞迴都有一個數減小一半

因此複雜度為$log(a + b)$

 

擴充套件歐幾里得演算法

用途

當我們已知$a,b$

擴充套件歐幾里得演算法可以求出滿足$a*x+b*y=gcd(a,b)$的$(x,y)$解集

$gcd(a,b)$表示$a,b$的最大公約數

 

前導知識

上面有證明。

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

$gcd(a,0)=0$

$a\%b=a-a/b*b$

 

推導過程

其實擴充套件歐幾里得的推導過程挺自然的

$a*x+b*y$

$=gcd(a,b)$

$=gcd(b,a\%b)$

$=b*x+(a\%b)*y$

$=b*x+(a-a/b*b)*y$

$=b*x+a*y-a/b*b*y$

$=a*y+b*x-a/b*b*y$

$=a*y+(x-y*a/b)*b$

這樣不斷的遞迴下去

當$b=0$時

$x=1,y=0$

 

程式碼

注意：

我們在求$(x-y*a/b)$的時候需要用到上一層的$x$

但此時上一層$x$已經被賦值成了$y$

所以我們需要開一箇中間變數來記錄上一層的$x$

 

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(!b) {x = 1; y = 0; return a;}
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int tmp = x; x = y, y = tmp - a / b * y;
    return r;
}

 

應用

1

擴充套件歐幾里得最重要的應用就是求形如$a*x+b*y=c$的解

那麼如何求呢？

首先，這個方程能夠能力的條件是$c\%gcd(a,b)=0$，這個應該比較顯然

根據前面將的擴充套件歐幾里得演算法

我們可以先求出$a*x_0+b*y_0=gcd(a,b)$的解$x_0,y_0$

然後方程兩邊同時除以$gcd(a,b)$

就得到$a*x_0/gcd(a,b)+b*y_0/gcd(a,b)=1$的解

再在方程兩邊同乘$c$

就得到了方程

$a*x_0/gcd(a,b)*c+b*y_0/gcd(a,b)*c=c$

是不是很簡單？

2

若$gcd(a,b)=1$，且$x0,y0$為$a*x+b*y=c$的一組解，則該方程的任一一解可以表示為

$x=x_0+b*t,y=y_0-a*t$

證明:

$a*x+b*y$

$=a*(x_0+b*t)+b*(y_0-a*t)$

$=a*x_0+a*b*t+b*y_0-a*b*t$

$=a*x_0+b*y_0$

 

例題

洛谷P1516 青蛙的約會

根據題目要求列出等式，化簡即可

題解

洛谷P2421 [NOI2002]荒島野人

題解