數論函式
陪域：包含值域的任意集合
數論函式：定義域為正整數，陪域為複數的函式
積性函式：對於函式$f(n)$，若存在任意互質的數$a,b$，使得$a*b=n$,並且$f(n)=f(a)*f(b)$，那麼函式$f(n)$被稱為積性函式
常見積性函式：
$1(i)=1$
$f(i)=i$
$\varphi \left( i\right)$(尤拉函式)
$\mu \left( i\right)$(莫比烏斯函式)
擴充：完全積性函式：對於函式$f(n)$，若存在任意數$a,b$(這裡取消掉了互質的限制)，使得$a*b=n$,並且$f(n)=f(a)*f(b)$，那麼函式$f(n)$被稱為完全積性函式
狄利克雷卷積
定義函式$f,g$為數論函式
則他們的狄利克雷卷積可以表示為:$f*g$,
設$h=f*g$
$$h\left( n\right) =\sum _{d|n}f\left( d\right) g\left( \dfrac {n}{d}\right)$$
顯然,$h$也是積性函式
證明：
設$n=a*b$，且$gcd(a, b) = 1$
$$h(n)=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1d_2)g(\dfrac {a}{d_1}\dfrac {b}{d_2})$$
$$=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1)f(d_2)g(\dfrac {a}{d_1})g(\dfrac {b}{d_2})$$
$$=\sum_{d_1|a}f(d_1)g(\dfrac {a}{d_1})\sum_{d_2|b}f(d_2)g(\dfrac {b}{d_2})$$
$$=h(a)*h(b)$$
運演算法則
交換律：$f * g = g * f$
結合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$
分配率：$f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f$
如果$f, g$為積性函式，那麼$f * g$也是積性函式
注意最後一點非常重要！！