痞子衡嵌入式：不可不知的計算機原理知識（1）- 整數表示(原碼/反碼/補碼)

痞子衡發表於2017-03-26
計算機

　　大家好，我是痞子衡，是正經搞技術的痞子。今天痞子衡給大家講的是計算機原理知識點-整數表示。

　　本系列痞子衡會給大家介紹一些關於計算機原理的有趣的知識點，今天是系列第一節課，痞子衡要講的是計算機中最基礎的知識，即整數資料表示法。
　　現實生活中的所有資訊在計算機看來就是一堆資料，計算機的工作就是和資料打交道。簡單來說，計算機最核心的功能就是兩個：儲存資料、處理資料。計算機首先得要能正確地儲存使用者資料，有了資料之後，計算機還要能夠按照使用者要求處理(運算)資料。今天痞子衡要講的就是資料(整數)在計算機中是怎麼儲存（表示）的。

一、何謂進位制

　　學過數位電路的朋友肯定知道資料的進製表示法，常見的有二進位制、八進位制、十進位制、十六進位制表示法。在現實生活中我們所用的資料表示法是十進位制，即由0-9共10個數字表示所有數值。
　　任意進位制轉換成十進位制的公式為Xn-1X...X1X0=Xn-1*Rn-1+...X1*R+X0，其中R為當前被轉換進位制的權重值，二進位制則R=2，八進位制R=8，十進位制R=10，十六進位制R=16。X可取值當前被轉換進位制所有的單個數字（值）。
　　計算機就是大規模整合數位電路，數位電路只有兩種電平狀態（低/高），對應到數字表示就是0,1，所以實際上計算機只認二進位制，所有儲存在計算機中的資料都是由二進位制來表示的。

二、整數編碼

2.1 正負數表示（原碼）

　　資料在計算機中都是用二進位制來表示的。對於無符號整數（正整數），比如uint8_t型，8個bit均為資料位，用二進位制表示其範圍為8'b00000000 ~ 8'b11111111（0~255），這種所有bit均為資料位以表示無符號整數的編碼方式即為原碼。
　　但很多時候我們不僅要儲存正整數，還要儲存負整數，此時便涉及到有符號整數的表示方法了，此時編碼規定最高bit表示符號（0為正，1為負），其餘bit表示資料位，這種表示有符號整數的編碼方式實際上也是原碼。對於int8_t型，bit7為符號位，bit6-0為資料位，用二進位制表示其範圍為8'b10000000 ~ 8'b01111111（-128~127)，有朋友可能會對這裡有疑問，似乎按照編碼規定能表示的整數範圍應該是-127 ~ 127，但實際並不是如此，具體痞子衡在下面會解釋。

2.2 減法的實現（反碼）

　　數位電路里我們都聽說過加法器，但沒有減法器的說法，說明計算機實際上僅支援加法運算，對於正整數做加法運算用原碼沒有任何疑義。那麼對於無符號整數做減法運算（等同於有符號數的加法運算）怎麼實現？我們嘗試著用原碼來代入運算，比如129-7（即129+(-7)）：

   8'b10000001(129原碼)
 + 8'b10000111(-7原碼)
--------------
 = 8'b????????(符號位如何參與運算？)
 =9'b100001000(不區別符號位，直接運算，最高bit由於溢位被自動丟棄)
 = 8'b00001000(結果為8)

　　我們似乎遇到了困難，有符號運算數的符號位如何參與運算？如果我們不區別對待符號位，直接把它當做資料位進行計算，得出的結果顯然是不對的，所以原碼是無法被用作減法/有符號數的計算的。為了解決這個問題，此時引入了第二種編碼方式規定（反碼），即正數的反碼與原碼相同，負數的反碼等於原碼除了符號位外，其餘資料位全部取反。有了反碼，此時我們用反碼重新計算129-7：

   8'b10000001(129反碼)
 + 8'b11111000(-7反碼)
--------------
 =9'b101111001(最高bit由於溢位被自動丟棄)
 = 8'b01111001(結果為反碼，由於最高bit為0，即表示正數，所以等同於原碼，其值為122)

2.3 消除+/-0之爭（補碼）

　　反碼看起來似乎解決了減法問題，不妨讓我們再做一個減法運算，比如5-5，我們嘗試再一次用反碼解決問題：

   8'b00000101(5反碼)
 + 8'b11111010(-5反碼)
--------------
 = 8'b11111111(結果為反碼)
 = 8'b10000000(轉換成原碼，根據有符號數原碼編碼規定解析為-0)

　　-0是等於0的，運算的結果是對的，但是不是總感覺哪裡不對？是的，原碼8'b00000000表示+0，我們已經有+0來表示0了，再用-0表示0顯得多此一舉，浪費了一個編碼值。怎麼解決這個問題？此時引入第三種編碼方式規定（補碼），正數的補碼與原碼相同，負數的補碼等於反碼加1.那現在我們嘗試用補碼來重新計算5-5：

   8'b00000101(5補碼)
 + 8'b11111011(-5補碼)
--------------
 =9'b100000000(最高bit由於溢位被自動丟棄)
 = 8'b00000000(結果為補碼，由於最高bit為0，即表示正數，所以等同於反碼，也等同於原碼，其值為+0)

　　上述運算中使用補碼消除了運算結果為-0的問題，但還是沒有告訴我們8'b10000000的值到底是多少？顯然不應該是-0，那麼應該要怎麼解析8'b10000000？有朋友說答案是-128，是的，前面我們已經在原碼一節中給出了答案，那如何來理解這個答案？首先我們得要從標準原碼定義的角度來說-128，按照定義-128的原碼應該是9'b110000000，轉換成補碼還是9'b110000000，原碼與補碼一致，截斷最高位後可得8'b10000000，講到這裡，我們似乎有點明白-128的由來了，但這樣真的靠譜嗎？代入運算會不會影響運算結果的正確性？我們來試試看-128+17：

   8'b10000000(-128補碼)
 + 8'b00010001(17補碼)
--------------
 = 8'b10010001(結果為補碼)
 = 8'b10010000(轉換為反碼)
 = 8'b11101111(轉換為原碼，由於最高bit為1，即表示負數，其值為-111)

　　由於用8'b10000000來表示-128參與運算並不會導致結果錯誤，那麼何不直接約定用8'b10000000來表示-128呢？好，就這麼愉快的決定了！這就是-128=8'b10000000的由來。其實就是計算機裡的一個異常的人為規定而已！

2.4 編碼小結

　　無論uint8_t/int8_t型資料全部使用補碼的方式在計算機中進行儲存，其中int8_t型資料範圍內-128是個異常規定，無法用補碼編碼規則直接解釋，但計算機可以自動理解識別。
　　為了鞏固知識，我們做個小練習：

// a,b,c,d,e,f分別等於多少？
uint8_t a = -1;
uint8_t b = -128;
uint8_t c = -129;
int8_t d = 128;
int8_t e = 129;
int8_t f = -129;
// 答案: a = 255, b = 128, c = 127, d = -128, e = -127, f = 127

　　至此，計算機原理知識點之整數表示痞子衡便介紹完畢了，掌聲在哪裡~~~

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