本文由 Jilen 發表在 ScalaCool 團隊部落格。
上一篇文章介紹了 shapeless 的重要功能：自動派生 typeclass 例項。 本文將闡述一個看起來沒什麼作用，但實際上是 shapeless 關於泛型程式設計的重要基石： Nat （自然數）
皮亞諾公理(Peano axioms)
首先我們確定一下自然數只是一個符號系統，我們用 0，1，2，... 這些符號表示一些抽象的概念
皮亞諾公理告訴我們這個符號系統有三個組成元素
- 一個初始元素（比如0） x
- 一個集合 X
- 一個 X 到自身的對映（後繼關係） f
並且這個系統滿足以下公理
- x 屬於 X (0是自然數)
- x 不在 f 的值域內 (0 不是任何數的後繼)
- 如果
f(a) = f(b)則a = b(即 f 是一個單射)- 若 a 屬於 X，則 f(a) 屬於 X
- 若 A 為 X 子集，並滿足
- x 屬於 A, 且
- 若 a 屬於 A，則 f(a) 屬於 A 則 A = X
基於上述公理就可以建立一階算術系統
Nat 型別與自然數對應關係
trait Nat {
type N <: Nat
}
case class Succ[P <: Nat]() extends Nat {
type N = Succ[P]
}
class _0 extends Nat with Serializable {
type N = _0
}
複製程式碼很容易就可以總結出 Nat 型別和自然數的對應關係
- X 為 所有
Nat子型別 - Succ（後繼）為對映
f，注意一個型別構造器可以看作是一個對映 - _0 為初始元素
Nat 與上述公理對應關係
- 第 1 條，_0 是 Nat 子型別
- 第 2 條，_0 顯然不是任何型別的 Succ，scala 編譯器的型別檢查可以保證 Succ[P] 不等於 _0
- 第 3 條，假設存在 A, B 滿足 A != B 且 Succ[A] = Succ[B]，同樣編譯器型別檢查可以保證如果 A != B，則 Succ[A] != Succ[B]，即 Succ 是一個單射
- 第 4 條，Succ 的定義直接指出如果 P 是 Nat，則 Succ 亦是 Nat
- 第 5 條，A 就是 Nat 型別的定義，（這裡形式化證明過於困難，暫不做證明）
加法定義
有了上述公理之後，可以建皮亞諾算術系統，我們以加法為例 加法定義為滿足以下關係的對映
- a + 0 = 0
- a + Succ(b) = Succ(a + b)
在 shapeless 裡，加法定義如下(Aux 型別的作用參考此處)
trait Sum[A <: Nat, B <: Nat] extends Serializable { type Out <: Nat }
object Sum {
type Aux[A <: Nat, B <: Nat, C <: Nat] = Sum[A, B] { type Out = C }
// 對應 1 處定義
implicit def sum1[B <: Nat]: Aux[_0, B, B] = new Sum[_0, B] { type Out = B }
// 此處定義與 2 處略有不同
implicit def sum2[A <: Nat, B <: Nat, C <: Nat]
(implicit sum : Sum.Aux[A, Succ[B], C]): Aux[Succ[A], B, C] =
new Sum[Succ[A], B] { type Out = C }
}
複製程式碼這裡第 2 條規則定義為 Sum[A, Succ[B]].C = Sum[Succ[A] , B].C，而加法的第二個規則則要求 Sum[A, Succ[B]].C = Succ[Sum[A, B].C]
shapeless 這裡定義實際上可以推匯出第 2 規則。
將上述型別轉換成命題： a + S(b) = S(a) + b => a + S(b) = S(a + b)
下面是證明過程 (S 為後繼對映，即 Succ)
- b = 0 時
a + S(0) = S(a) + 0 = S(a) = S(a + 0) - 假設 b = x 時,
a + S(x) = S(a + x)成立，則 b = S(x) 時a + S(S(x)) = S(a) + S(x) = S(S(a) + x) = S(a + S(x))，可以得出對於b = S(x) ，a + S(b) = S(a + b)也成立 - 上述兩者歸納得出命題成立
現在來看看如何使用 Sum 來約束型別
object alias {
type _1 = Succ[_0]
type _2 = Succ[_1]
type _3 = Succ[_2]
}
import alias._
def check[A <: Nat, B <: Nat](implicit sum: Sum.Aux[A, B, _3]) = {}
check[_0, _3]
check[_1, _2]
check[_2, _1]
check[_3, _0]
check[_1， _1] // 編譯錯誤
複製程式碼上述 check 方法要求兩個型別的 Sum 是 _3，可以看只有 Sum 是 _3 的 A，B 型別才能通過編譯
總結
本文介紹了 shapeless 的重要基礎型別 Nat，理解該型別是掌握 shapeless 其他型別的重要前提