兩位數學家發現素數計數新方法，原來「p²+nq²」形式的素數真有無限多個

机器之心發表於2024-12-22

一項新的證明，讓數學家們離理解「算術原子」素數的隱藏順序更近了一步。


素數，即「只能被它們自己和 1 整除的數」，可以說是數學中最基本的組成部分。

素數的神秘之處在於：乍一看，它們似乎隨意散佈在數軸上，但實際上並不是隨機的，而是完全確定的。仔細觀察它們，就會發現各種奇怪的模式。

數學家們花了幾個世紀的時間試圖解開這些模式。如果能更好地理解素數是如何分佈的，就能照亮數學宇宙的廣闊天地。

雖然數學家們可以憑藉一些公式大致瞭解素數的位置，卻還是無法準確地找到它們，因此不得不採取更間接的方法。

公元前 300 年左右，歐幾里得證明了素數的數量是無限的。此後，數學家們以歐幾里得的定理為基礎，為符合其他標準的素數證明了同樣的說法。

舉個簡單的例子：是否有無數個不包含數字 7 的素數？

隨著時間的推移，數學家們把這些標準變得越來越嚴格。透過證明仍然有無限多的素數滿足這種越來越嚴格的限制，他們逐漸深入地瞭解素數的存在環境。但問題是，這類定理很難證明。

近日，來自牛津大學的 Ben Green 和哥倫比亞大學的 Mehtaab Sawhney 證明了一個特別具有挑戰性的素數型別的定理 —— 是否存在無窮多個形式為 p² + 4q² 的素數，其中 p 和 q 也必須是素數？
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Ben Green（左）和 Mehtaab Sawhney（右）。

這兩位數學家的證明在今年 10 月份以預印本的形式釋出，不僅加深了數學家對素數的理解，還利用了數學中不同領域的一套工具，表明這些工具遠比數學家們想象的要強大得多，並有可能成熟地應用於其他領域。
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  • 論文標題：Primes of the form p² + nq²
  • 論文連結：https://arxiv.org/pdf/2410.04189

長期以來的嘗試

數學家總是傾向於研究那些複雜到足以引起興趣，但又簡單到足以取得進展的素數族。例如，他們可能試圖證明有無限多個相距 500 個單位的素數。或者，我們可以透過把其他數的平方相加，來建立無限多的素數。

最後一個約束特別有用，它引導了幾個世紀的數學進步。1640 年，費馬（Pierre de Fermat）猜想有無限多的素數可以透過兩個整數的平方和相加來表示。例如，素數 13 可以寫成 2² + 3²。尤拉（Leonhard Euler）後來證明了這一猜想。

但是，只要對問題稍作調整：比如堅持要求其中一個平方數是奇數，或者是完全平方數，問題就會變得更難。

Ben Green 表示：「對一個集合的約束越多，找到其中的素數就越難。」

在 19 世紀，對這類定理的研究促進了現代數論的發展。在 20 世紀，它激發了迄今為止最雄心勃勃的數學工程之一：朗蘭茲計劃。而在 21 世紀，對這類素數的研究不斷產生新的技術和見解。

2018 年，羅格斯大學的 Friedlander 和 Henryk Iwaniec 提出了一個問題：是否存在無窮多個形式為 p² + 4q² 的素數，其中 p 和 q 也必須是素數？(例如 41 = 5² + 4 × 2².）

結果發現，處理這一約束條件特別具有挑戰性。但如果數學家們能解決這個問題，他們就能成功地對素數進行新一層次的控制，而這正是他們一直希望做到的。

一次有價值的訪問

Green 和 Sawhney 以前都沒有玩過這種素數遊戲，但他們都有研究素數產生的奇特規律的經驗。

今年 7 月，兩位數學家在愛丁堡的一次會議上相遇了。剛從研究生院畢業的 Sawhney 一直很崇拜 Green。

Green 20 年前證明的一個開創性結果是將他帶入這個學科的原因之一。Sawhney 表示：「我當時就想天啊，你怎麼能做到這一點？」

同時，格林也對這位年輕的數學家印象深刻：「Mehtaab 是一位傑出的數學家，他無所不知。」

兩人決定合作。他們只需要找到合適的問題。經過一番討論，他們最終確定了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜想。

Green 邀請 Sawhney 到牛津大學訪問一週。他們知道，要證明類似的猜想，數學家們通常要依靠一套特定的計數技術。但由於他們問題中的素數定義過於嚴格，二人無法找出讓這套傳統工具發揮作用的方法。

相反，他們希望用一種更迂迴的方式來證明這一猜想 —— 走一步數學棋。但首先，他們必須證明他們是可以走這步棋的。

在 Sawhney 訪問結束時，他和 Green 已經知道了如何做到這一點，從而證明了這個猜想。為此，他們與數學的另一個領域建立了驚人的聯絡。

嘗試另一個集合

在 Green 和 Sawhney 看來，根本不可能透過計算兩個素數的平方並將其相加來直接計算素數的數量。但是，如果他們稍微放鬆一下限制，結果會怎樣？他們意識到他們可以解決一個稍微弱一些的版本 —— 其中被平方的數只需「大致粗略」是素數。

相比於素數，粗略素數（rough prime）更容易找到。假設你要統計 1 到 200 之間有多少個粗略素數。

首先，先看看最小的素數有哪些 ——2、3、5、7。然後列出所有無法被這些素數整除的數。這些數就是粗略素數。在這種情況下，你最終會得到 50 個粗略素數：其中 46 個真是素數，而另外四個不是素數（121、143、169 和 187）。由於粗略素數的分佈的隨機性遠低於素數的分佈，因此它們更容易處理。Sawhney 說：「粗略素數是我們遠遠更加了解的集合。」
圖片 Tamar Ziegler 在素數方面的開創性工作使研究人員能夠將一種名為 Gowers 範數的數學技術移植到一個新領域。

Green 和 Sawhney 已經證明，透過對兩個粗略素數求平方並將它們相加可以得到無窮多個素數。現在他們只需證明這個陳述暗示了他們實際想要解決的問題：存在無窮多個素數可以寫成真實素數的平方和。

但這無法顯而易見地推匯出來。他們必須為該問題的每個版本都分析一個特殊的函式集 —— 稱為 I 型與 II 型和（Type I and Type II sums），然後證明：不管使用何種約束條件，這些和都是等價的。只有這樣，Green 和 Sawhney 才能知道他們可以將粗略素數代入他們的證明中，同時不丟失任何資訊。

他們很快意識到：他們可以使用一個工具來證明這些和是等價的，並且他們各自之前都在自己的研究工作中使用過這個工具。這個工具被稱為 Gowers 範數，是數學家 Timothy Gowers 幾十年前開發的，原本是用於度量一個函式或數集的隨機或結構化程度。從表面上看，Gowers 範數似乎屬於完全不同的數學領域。Sawhney 說：「不瞭解它的人幾乎無法看出這些東西存在關聯。」

但使用數學家陶哲軒和 Tamar Ziegler 在 2018 年證明的里程碑結果，Green 和 Sawhney 發現了一種方法來建立 Gowers 範數與 I 型與 II 型和之間的聯絡。本質上，他們需要使用 Gowers 範數來證明他們的兩組素數足夠相似，即使用粗略素數構建的集合和使用實素數構建的集合。

事實證明，Sawhney 知道該怎麼做。今年早些時候，為了解決一個與之無關的問題，他開發了一種使用 Gowers 範數比較集合的技術。他沒想到的是，該技術足以證明這兩個集合具有相同的 I 型和 II 型和。

技術在手，Green 和 Sawhney 證明了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜想：可以寫成 p² + 4q² 形式的素數有無窮多個。最後，他們還成功擴充套件了他們的結果，證明了：其它素數族的素數也有無窮多個。對於這類進展通常很罕見的問題而言，這著實是一個重大突破。

更重要的是，這項工作表明 Gowers 範數可以作為一個新領域的強大工具。Friedlander 說：「因為它是如此新穎，至少在數論的這個部分，它有可能做到很多其他的事情。」數學家們現在希望進一步擴大 Gowers 範數的範圍 —— 嘗試用它來解決數論中素數計數問題之外的其他問題。

「看到我以前想到的東西有了意想不到的新應用，我感到很有趣。」Ziegler 說，「這就像為人父母，當你放開孩子，他們長大後會做出神秘而意想不到的事情。」

原文連結：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/

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