今天賢內給了我一道很實際的演算法題，把我徹底難住了，實在想不出來，於是寫此博文以記之。
背景是這樣的，現在有一個付款明細的Excel，裡面有為哪個發票，哪個公司應付多少錢的明細，明細資料是62條，現在知道我們已經付出的金額為Sum，請問到底哪些發票是已付款的。
這是62條明細資料：
| 653165.00 |
| 356029.11 |
| 220896.45 |
| 146362.00 |
| 1847670.00 |
| 3018518.91 |
| 1347553.07 |
| 145010.74 |
| 339784.84 |
| 199350.28 |
| 1206114.00 |
| 882000.00 |
| 253246.13 |
| 720000.00 |
| 24194.07 |
| 1518952.00 |
| 139453.48 |
| 200415.00 |
| 812044.00 |
| 9032764.57 |
| 3960608.05 |
| 1855126.31 |
| 7409087.18 |
| 608094.66 |
| 225519.59 |
| 627912.23 |
| 109897.52 |
| 1215819.87 |
| 4220245.50 |
| 94299.00 |
| 96547.00 |
| 92616.01 |
| 597100.54 |
| 880440.00 |
| 343991.59 |
| 70468.19 |
| 1092418.47 |
| 66911.94 |
| 80138.65 |
| 1398551.14 |
| 172287.48 |
| 691097.86 |
| 2371693.44 |
| 3773148.63 |
| 83898.33 |
| 89922.75 |
| 2619220.46 |
| 1179477.63 |
| 3440250.98 |
| 700000.00 |
| 997545.00 |
| 272523.00 |
| 3009976.00 |
| 451891.44 |
| 2111314.00 |
| 306377.00 |
| 142329.00 |
| 2057178.00 |
| 9340.00 |
| 249027.00 |
| 60811.50 |
| 51188.50 |
付款的金額為：
35857936.42
這聽起來是一個很簡單的演算法題，其實就是算組合嘛，把每種組合的金額進行相加，如果等於Sum金額，那麼就輸出這種組合。於是網上找找組合函式的程式碼，很快就寫出了這個程式。而且使用了一些簡單的測試程式，確認計算是正確的。但是真正用到這個事情中，卻崩潰了，計算量太大，根本算不出來。
仔細一想，對於每個數字，要麼出現，要麼不出現，那麼其計算複雜度就是O(2^n)，這裡n=62，那麼差不多就得計算2的62次，遍歷每一種組合，才能找到全部答案。天啊！2的62次方！
根本不可能完成啊。想了又想，怎麼都沒有想到好的辦法把複雜度降下來，傷心。不知道有沒有大神能夠解決這個問題。
這還只是一次資料，以後說不定還有100條明細，200條明細的，就這破演算法，那更是天文數字，怎麼可能算得出來啊？！
附上現有的程式碼下載。
更新：
好吧，看來我太無知了，這個問題是沒有解決辦法的，StackOverflow的討論：http://stackoverflow.com/questions/4355955/subset-sum-algorithm
而且還有專門的維基百科頁面：http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem#Pseudo-polynomial_time_dynamic_programming_solution