設有一個函式 \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), 數列 \(\{a_n\}\) 滿足 \(a_{n+1} = f(a_n)\).
記 \(f^{(1)}(x) = f(x), f^{(n+1)}(x) = f(f^{(n)}(x))\).
我們做一個換元 \(t = \varphi(x)\)，為了方便我們假設 \(f\) 是雙射的，記\(x = \varphi^{-1}(t)\).
設 \(g = \varphi(f(\varphi^{-1}(t)))\),透過簡單推導有 \(g^{(n)}(t) = \varphi(f^{(n)}(\varphi^{-1}(t)))\).
不難證明：對於以上的 \(f,g,\varphi\)，\(f, g\)的不動點集合元素是一一對應的，即 \(f\) 中的每一個不動點 \(x_0\)，都對映到了 \(g\) 中的不動點 \(\varphi(x_0)\)。
我們的目標就是構造 \(\varphi(x)\),將 \(f(x)\) 轉化到易於計算遞推式的\(g(x)\)的形式，最後透過 \(f(x) = \varphi^{-1}(g^{(n)}(\varphi(x)))\) 還原。高中階段見到的技巧如下：
一個不動點 \(x_0\)：構造 \(\varphi(x) = \frac{1}{x-x_0}\)，此時 \(g(x)\) 大機率 是 \(x+b\) 的形式（不動點在無窮遠處）。
兩個不動點 \(x_1,x_2\)：構造 \(\varphi(x) = \frac{x-x_1}{x-x_2}\)，此時 \(g(x)\) 大機率 是 \(kx\) 的形式（不動點在 0 和無窮遠處）。
對於常見的 \(a_{n+1} = \frac{a\cdot a_n+b}{c\cdot a_n + d}\) 這種形式，其實有很有說法的證明，涉及因式定理吧好像是。
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