CF1111D Destroy the Colony 題解 回滾揹包

quanjun發表於2024-12-05

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/1111/D

題目大意：

有一個惡棍的聚居地由幾個排成一排的洞穴組成，每一個洞穴恰好住著一個惡棍。

每種聚居地的分配方案可以記作一個長為偶數的字串，第\(i\)個字元代表第\(i\)個洞裡的惡棍的型別。

如果一個聚居地的分配方案滿足對於所有型別，該型別的所有惡棍都住在它的前一半或後一半，那麼鋼鐵俠可以摧毀這個聚居地。

鋼鐵俠的助手賈維斯有不同尋常的能力。他可以交換任意兩個洞裡的野蠻人（即交換字串中的任意兩個字元）。並且，他可以交換任意次。

現在鋼鐵俠會問賈維斯\(q\)個問題。每個問題，他會給賈維斯兩個數\(x\)和\(y\)。賈維斯要告訴鋼鐵俠，從當前的聚居地分配方案開始，他可以用他的能力創造多少種不同的方案，使得與原來住在第\(x\)個洞或第\(y\)個洞中的惡棍型別相同的所有惡棍都被分配到聚居地的同一半，同時滿足鋼鐵俠可以摧毀這個聚居地。

如果某一個洞裡的惡棍在兩種方案中型別不同，則這兩種方案是不同的。

輸入

第一行包含一個字串\(s\) (\(2\leq |s| \leq 10^5\))，表示初始的聚居地分配方案。字串\(s\)包含小寫和大寫英文字母，且長度為偶數。

第二行包含一個整數\(q\)——詢問的數量。

接下來的\(q\)行中的第\(i\)行包含兩個整數\(x_i\)和\(y_i\) (\(1\leq x_i, y_i \leq |s|\))——第\(i\)個問題中給賈維斯的兩個整數。

輸出

對於每個問題輸出可能的分配方案數模 \(10^9+7\)。

解題思路：參考自 大佬的部落格

需要注意的點：

  1. \(x_i\) 可能等於 \(y_i\)
  2. 等於 \(s_x\) 或 \(s_y\) 的字元總數可能大於 \(\frac{n}{2}\)
  3. 字符集大小不超過 \(26 \times 2 = 52\)，可以預處理（或記憶化）所有的答案（不然會 TLE 第10個點）。

示例程式：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
const long long mod = 1e9 + 7;

char s[maxn];
int n, q, x, y, cnt[52];
long long f[maxn], fac[maxn] = {1};

long long fpow(long long a, int b) {
    long long res = 1, t = a % mod;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1)
            res = res * t % mod;
        t = t * t % mod;
    }
    return res;
}

long long inv(long long a) {
    return fpow(a, mod-2);
}

void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
}

int t(char c) {
    assert(isalpha(c));
    if (islower(c)) return c - 'a';
    return c - 'A' + 26;
}

map<pair<int, int>, long long> mp;

int main() {
    scanf("%s%d", s+1, &q);
    n = strlen(s+1);
    assert(n % 2 == 0);
    init(n/2);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cnt[t(s[i])]++;
    long long tmp = fac[n/2] * fac[n/2] % mod;
    for (int i = 0; i < 52; i++)
        tmp = tmp * inv(fac[ cnt[i] ]) % mod;
    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i < 52; i++) {
        int w = cnt[i];
        if (!w) continue;
        for (int j = n/2; j >= w; j--) {
            f[j] += f[j-w];
            f[j] %= mod;
        }
    }
    while (q--) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        x = t(s[x]), y = t(s[y]);
        int tot;
        if (x == y)
            tot = cnt[x];
        else
            tot = cnt[x] + cnt[y];
        if (tot > n/2) {
            puts("0");
            continue;
        }
        if (mp.count({x, y})) {
            printf("%lld\n", mp[{x, y}]);
            continue;
        }
        for (int i = cnt[x]; i <= n/2; i++)
            f[i] = (f[i] - f[ i-cnt[x] ] + mod) % mod;
        if (x != y) {
            for (int i = cnt[y]; i <= n/2; i++)
                f[i] = (f[i] - f[ i-cnt[y] ] + mod) % mod;
        }
        long long res = tmp * f[n/2] % mod * 2 % mod;
        mp[{x, y}] = mp[{y, x}] = res;
        printf("%lld\n", res);
        for (int i = n/2; i >= cnt[x]; i--)
            f[i] = (f[i] + f[ i-cnt[x] ]) % mod;
        if (x != y) {
            for (int i = n/2; i >= cnt[y]; i--)
                f[i] = (f[i] + f[ i-cnt[y] ]) % mod;
        }
    }
    return 0;
}

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