前情概要
在和同事研討下述題目的解答時，碰到了一些困難，思路不太好把握，探索一番，做個記錄。
案例分析
總基調：題目要求清潔鋼球能擦淨凹槽的最底部，則鋼球要和能經過拋物線的底部[頂點]，當鋼球半徑最大時，則鋼球與拋物線相切於底部的頂點 .
探索1️⃣：從學科網和菁優網下載答案參考學習，基本上看不大懂，感覺選擇的角度是從形上容易切入思考，但在數上運算時不太好理解，乾脆放棄，思考從數上入手思考；一點小反思，即使網上老師的作答，也不要一味的迷信，如果你有多個網路資訊源，可以下載多個解答，在比較中選優[我也曾經給菁優網解答過題目，前幾年最貴的導數類解答題也只開價 \(4.5\) 元，而且要求多，有分析，有解答，有配套的圖象，還得有解後反思，太麻煩，解答了 \(100\) 多個題目後放棄了] .
探索2️⃣：從圖形上入手分析，做出經過球心的截面圖形，建系如圖所示，根據對稱性設圓的半徑最大時圓心為 \(A\)\((0,r)\)，\((r>0)\)，拋物線上任意一點為 \(P\)\((x,y)\)，則 \(y\)\(\geqslant\)\(0\)，
由圖可知，拋物線上的任意一點一定滿足條件：\(|PA|\)\(\geqslant\) \(r\) [1]，
為運算簡單，採用這樣的運算思路，\(|PA|^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)，即 \((x-0)^2\)\(+\)\((y-r)^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)，
將 \(x^2\)\(=\)\(4y\) 代入，開啟整理得到，\(y^2\)\(+\)\(4y\)\(-\)\(2ry\)\(\geqslant\)\(0\)，
即 \(y\)\(\cdot\)\((y+4-2r)\)\(\geqslant\)\(0\)，由題目可知\(y\)\(\geqslant\)\(0\)，由 符號法則 可知，\(y\)\(+\)\(4\)\(-\)\(2r\)\(\geqslant\)\(0\)，
即 \(2r\)\(\leqslant\)\(y\)\(+\)\(4\)，即 \(r\)\(\leqslant\)\(\cfrac{y}{2}\)\(+\)\(2\)，
當 \(y\) 取最小值 \(0\) 時，\(r\)\(\leqslant\)\(2\)，則 \(r\) 的取值範圍是 \((0,2]\)，故 \(r\) 的最大值為 \(2\) . 選擇 \(C\) 選項 .
- 相關補充：基本採用了大神 Math173 的做法，請參閱 相似解答
探索3️⃣：剛好那幾天接觸了個 奈米搜尋，想到用這個題目的圖片練手，既學習奈米搜尋的使用，也想看看所謂的 Ai 搜尋到底功能如何，你別說，還真是有收穫，由此看到一片不一樣的天地：我的搜尋結果圖片為證，是為記
設鋼球的圓心為 \(A(0,r)\) ( \(r\) 為鋼球半徑)，當鋼球半徑最大時，鋼球與拋物線相切，
設切點座標為 \(P(x,y)\) ，對於拋物線 \(x^2\)\(=\)\(4y\) ，其導數為 \(y^{\prime}\)\(=\)\(\cfrac{x}{2}\) ，則在點 \((x, y)\) 處的切線斜率為 \(\cfrac{x}{2}\)，
同時，圓心 \(A(0, r)\) 與切點 \(P(x,y)\) 連線的斜率為 \(k_{_{AP}}\)\(=\)\(\cfrac{y-r}{x}\)，[2]
因為切線 \(l\) 與直線 \(AP\) 的連線垂直，所以它們斜率乘積為 \(-1\) ，
即 \(\cfrac{x}{2}\)\(\times\)\(\cfrac{y-r}{x}\)\(=\)\(-1\) ，化簡得 \(y\)\(-\)\(r\)\(=\)\(-2\) ，即 \(y\)\(=\)\(r\)\(-\)\(2①\)，
又因為 \((x,y)\) 在拋物線上，所以 \(x^2\)\(=\)\(4y\) ，
將 \(y\)\(=\)\(r-2\) 代入 \(x^2\)\(=\)\(4y\) 可得 \(x^2\)\(=\)\(4(r-2)②\) ，
將 \(①②\) 代入圓的方程： \((x-0)^2\)\(+\)\((y-r)^2\)\(=\) \(r^2\) 中，即 \(4(r-2)\)\(+\)\((r-2-r)^2\)\(=\)\(r^2\)，
整理得到，\((r-2)^2\)\(=\)\(0\)，解得 \(r\)\(=\)\(2\)，[將其代入 \(①②\) 可得切點座標為 \((0,0)\)]
故清潔鋼球的最大半徑為 \(2\) ，選擇 \(C\) 選項 .
延申練習
解析：設清潔鋼球的半徑為 \(r\)，則其球心座標為 \(P(0,1+r)\)，則雙曲線上的所有點到 \(P\) 的距離不小於 \(r\)，設雙曲線上的點為 \(Q(x_0, y_0)\)，
則 \(|PQ|^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)\(\Longleftrightarrow\)\(x_0^2\)\(+\)\((y_0-1-r)^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)\(\Longleftrightarrow\)\(y_0^2\)\(-1\)\(+\)\((y_0-1-r)^2\)\(-\)\(r^2\)\(\geqslant\)\(0\)
整理可得 \(2\)\((y_0-r)\)\((y_0-1)\)\(\geqslant\)\(0\)\(\Longleftrightarrow\)\(r\)\(\leqslant\)\(y_0\)，
因此 \(r\) 的最大值為 \(y_0\) 的最小值，則清潔鋼球的最大半徑為 \(1\)，故選 \(A\) .
[備註]：對高中學生而言，以下內容是超綱的，我也不清楚這個公式。
根據曲線的曲率半徑的計算公式 \(R=\left|\cfrac{\left(1+f^{\prime 2}(x)\right)^{\frac{3}{2}}}{f^{\prime \prime}(x)}\right|\)，可得雙曲線在底部的曲率半徑為 \(1\)，因此清潔鋼球的最大半徑為 \(1\) .
這是這類題目的題眼，雖然到現在我們不知道本題目該如何控制，不著急，到最後就柳暗花明了。原因是所有的從形上體現出來的資訊一定有與之對應的數的表達形式，就是我們一時半會兒沒有找到而已。 ↩︎
目前，這種思路有個漏洞是，當切點為座標原點時，切線的斜率為 \(0\)，而直線 \(AP\) 的斜率是不存在的。 ↩︎