緊空間中的網一定有收斂子網.
證明：
設$X$是緊空間, $\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$是$X$中的網. 對於任意$\lambda\in\Lambda$, 定義$E_\lambda=\{x_\gamma: \lambda\preceq\gamma\}$, $F_\lambda=\overline{E_\lambda}$. 則對於任意$\lambda_1\preceq\lambda_2$有$F_{\lambda_1}\supset F_{\lambda_2}$.
斷言: $\bigcap_{\lambda\in \Lambda}F_\lambda\neq\varnothing$.
取$y\in \bigcap_{\lambda\in \Lambda}F_\lambda$, 下證存在子網收斂於$y$. 設$\mathscr{U}$為$y$的鄰域系, 則$\mathscr{U}$關於集合的包含關係是定向集. 定義
\[
\mathscr{E}=\{(\gamma,U):\gamma\in\Lambda,U\in\mathscr{U}, x_\gamma\in U\}.
\]
顯然$\mathscr{E}$按照乘積序是有向集. 定義$N:\mathscr{E}\to\Lambda$為$N(\gamma,U)=\gamma$. 以下簡記$N(\gamma,U)=N_\gamma$, 則易證$\{x_{N_\gamma}\}$是$\{x_\lambda\}$的子網. 只需再證明$\{x_{N_\gamma}\}$收斂於$y$即可.
設$U_y$是$y$的任意鄰域, 則對於任意的$\lambda$都有$U_y\cap E_\lambda\neq\varnothing$. 於是存在$\gamma\succeq\lambda$使得$x_\gamma\in U_y$. 即$(\gamma,U_y)\in\mathscr{E}$. 由$\mathscr{E}$的定義可得, 對於所有的$(\alpha,U)\succeq (\gamma,U_y)$, 都有$x_{N_\alpha}\in U_y$. 故$\{x_{N_\gamma}\}$收斂於$y$.
參考文獻：
1. 熊金誠，點集拓撲講義（第三版），高等教育出版社，2003.
2. 凱萊，一般拓撲學（第二版），科學出版社，2010.