數分筆記

符號說明（部分）

存在唯一：\(\exist|\) 或 \(\exist!\)

使得：\(\operatorname{s.t.}\)（so that/such that）

非：\(\neg\)

正整數：\(\mathbb{Z}^+,\mathbb{N}_+,\mathbb{Z}_+,\mathbb{N}^+\)

定義為：\(\triangleq\) 或 \(\dot=\)

笛卡爾乘積

\(A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}\)（\((a,b)\) 為有序對）

\(A\times B\times C=\{(a,b,c)|...\}\) VS \((A\times B)\times C=\{((a,b),c)|...\}\)

\(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\)

對映

僅討論單值函式。

三要素：\((f,A,B)\)

\(A\)：定義域。\(B\)：值集。\(f(A)=\{f(x)\in B|x\in A\}\)：值域。

一元實值函式：\((f,A)\)（\(B=\mathbb{R}\)）。

未給出 \(A\)，自然定義域，使得其有意義的所有實數（？）。

單射、滿射、雙射。

有限集、無限集

若 \(\exist n\in\mathbb{Z}^{+}\)，s.t. \(A\) 與 \({1,2,3,\dots,n}\) 存在一個雙射，則稱 \(A\) 為有限集，且 \(\#A=n\)。

不是有限集的集合被稱為無限集。

可列集

若 \(A\) 與 \(\mathbb{Z}^+\) 之間存在一個雙射，則稱 \(A\) 為可列集。

\[\begin{align} &\Z^+&\to&\N&\to&\Z&\to&\Q\\ &n&\to&n-1&\to&&\to& \end{align} \]

等勢

證明 \((0,1)\) 不是可列集（康託對角線法，反證法）：

假設 \((0,1)=\{r_n\}_{n=1}^{+\infin}\)，

\(r_i=0.\overline{x_1^{(i)}x_2^{(i)}x_3^{(i)}\dots}\)，其中 \(x_{i}^{(j)}\in\{0,1,\dots,9\}\)。

令 \(r=0.\overline{x_1x_2x_3\dots}\)，滿足 \(x_i\in\{1,2,\dots,8\}-\{x_i^{(i)}\}\)，

則 \(r\in(0,1)\) 且 \(r\not\in \{r_n\}_{n=1}^{+\infin}\)，矛盾。

故 \((0,1)\) 為不可數集。

數集與確界原理

約定：\(\empty\) 是有界集（有上界和下界）。

實數集

\[\R=\{\alpha\sub\Q|1.\alpha \neq \empty;2.\alpha \neq \Q;3.\forall x\in\alpha,若 y\in Q且 y<x,則 y\in \alpha;4.\forall a\in \alpha,\exist b\in \alpha,\texttt{s.t.}b>a\} \]

上確界

\(\sup S\)

定義：設 \(A\) 是一個 \(\R\) 的非空子集。

若 \(\exist \eta \in \R\)，\(\texttt{s.t.}\)：

1. \[\forall x\in A, x\le \eta \]

2. \[\forall(\alpha\in \R 且)\alpha < \eta，\exist x_0\in A, \texttt{s.t.}x_0 > \alpha \]

   等價於：

   \[\forall \epsilon \in \R 且 \epsilon>0,\exist x_0\in A,\texttt{s.t.} x_0>\eta-\epsilon \]

下確界

\(\inf S\)

定義：與上確界類似。

確界原理

非空有界（實）數集必存在確界。

例題：設 \(A=\{\frac{1}{n}|,n\in\Z^+\}\)，證明：\(\sup A=1,\inf A = 0\)。

證明：先證 \(\sup A = 1\)

1. \[\forall x\in A, x\le 1 \]

2. \[\forall \alpha < 1，取x_0=1\in A,x_0=1>\alpha \]

再證 \(\inf A = 0\)

1. \[\forall x \in A, x\ge 0 \]

2. \[\forall \beta>0,取 y_0=\frac{1}{\lfloor\frac{1}{\beta}\rfloor+1}，則有 y_0<\beta \]

證明阿基米德性質

\(\forall x,y\in \R\)，且 \(x>0\)，一定 \(\exist n_0\in\Z^+\)，s.t. \(n_0x>y\)，證明：

令 \(A=\{nx|n\in \Z^+\}\)，下用反證法證明。

假設上述結論不成立，即有 \(\forall n\in \Z^+\) 成立 \(nx\le y\)，

故有 \(A\) 為一個非空的有上界實數集。

由確界原理知：\(\sup A\in \R\)，不妨設 \(\sup A = \alpha\)。

因為 \(x>0\)，所以 \(-x<0\)，從而 \(\alpha-x<\alpha\)。

由於 \(\alpha = \sup A\)，所以 \(\alpha - x\) 必不是 \(A\) 的上界。

所以 \(\exist m\in \Z^+\)，s.t. \(\alpha -x<mx\)，即 \(\alpha<(m+1)x\)。

因為 \((m+1)x\in A\)，所以 \(\alpha<(m+1)x\) 與 \(\alpha\) 是上確界矛盾。

Dirichlet 函式

\(D:\R\to \R\)

\[x\mapsto D(x)= \begin{cases} 1&,x\in \Q\\ 0&,x\in \R-\Q \end{cases} \]

Riemann 函式

\(R:[0,1]\to \R\)

\[x\mapsto R(x)= \begin{cases} \frac{1}{q}&,x\in(0,1]\cap \Q,x=\frac{p}{q},p,q\in \Z^+,(p,q)=1\\ 0&,x=0或x\in[0,1]-\Q \end{cases} \]

隱函式

與顯函式相對，無顯式表示式，例如：\(x^2+y^2=1\)。

複合函式

\[(f\circ g)(x)=f(g(x)) \]

其他

\[(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)\\ (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \]

具有某些特性的函式

有界函式

設 \(f:A\to \R\) 是一個函式、

若 \(f(A)\) 是一個有界集，則稱 \(f\) 是一個有界函式。

\(\Leftrightarrow \exist M>0,\forall x\in A,|f(x)|\leqslant M\)。

約定 \(\sup f(A)寫成\sup_\limits{x\in A} f(x)\)，稱為 “\(f\) 在 \(A\) 上的上確界”。下確界類似。

單調函式

設 \(f:D\to \R\) 是一個函式。

若\(\forall x_1,x_2\in D,x_1<x_2\)，有 \(f(x_1)\leqslant(\geqslant)f(x_2)\)，稱 \(f\) 在 \(D\) 上單增（減），簡記作 \(f\nearrow\)（應該為一個往右彎曲的箭頭）。

注意區分“單調遞增”和“嚴格單調遞增”（\(\uparrow\)）。

反函式定理：若 \(f:D\to f(D)\) 是一個嚴格單增的函式，則 \(f\) 必存在反函式 \(g:f(D)\to D\)，s.t.\(f\circ g=id_{f(D)}\)，\(g\circ f=id_D\)。

證明：僅需證明 \(f:D\to f(D)\) 為單射。

反證法：若 \(f:D\to f(D)\) 不是單射，則存在 \(x_1,x_2\in D\) 且 \(x_1 \neq x_2\)，s.t. \(f(x_1)=f(x_2)\)，

於是若 \(x_1<x_2\)，由 \(f\uparrow\)……矛盾。

下證 \(g\uparrow\)：

任取 \(y_1,y_2\in f(D)\)，滿足 \(y_1<y_2\)。

\(\exist x_1,x_2\in D, \texttt{s.t.} x_1=g(y_1),x_2=g(y_2)\)。

因為 \(y_1<y_2\)，所以 \(x_1<x_2\)。（\(x_1=x_2\) 不合題意，\(x_1>x_2\Rightarrow y_1>y_2\)）。

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2024.9.19

冪

\(\forall a, b\in \R,n\in\Z^+,b^{n}-a^n=(b-a)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})\).

當 \(b>a>0,n\in \Z^{+}-\{1\}\) 時有 \(b^n-a^n<(b-a)\times n\times b^{n-1}\)。

命題：設 \(a>0,n\in \Z^{+}-\{1\}\)，則 \(\exist! x\in \{y\in \R|y>0\}\)，s.t. \(x^{n}=a\)。

證明：先證唯一性

​ 假設有 \(x_1,x_2\in R\)，s.t. \((x_1)^n=(x_2)^n=a\)，則

​ \(0=a-a=(x_1)^n-(x_2)^n=(x_1-x_2)((x_1)^{n-1}+\dots+(x_2)^{n-1})\)，故 \(x_1-x_2=0\)，\(x_1=x_2\)。

​ 再證存在性：

​ 令 \(E=\{t\in\R|t>0 且 t^n<a\}\)，

​ 令 \(\tilde t=\frac{a}{a+1}\in\R\)，則 \(0<\tilde t<1 且 \tilde t<a\)，故 \((\tilde t)^n<\tilde t<a\)，故 \(\tilde t\in E\)，所以 \(E\neq\varnothing\)。

​ 令 \(t^*=a+2\)，下可證明 \(t^*\) 是 \(E\) 的一個上界。

​ \(t^*>a 且 t^*>1\)，故 \((t^*)^{n}>t^*>a\)。

​ 從而 \(\forall t\in E\)，有 \(t^{n}<a<(t^*)^{n}\Rightarrow(t^*)^{n}>t^n\)，從而 \(t^*\) 是 \(E\) 的一個上界。

​ 從而 \(E\) 是一個有上界的非空實數集，由確界原理知 \(\sup E\in \R\)。

​ 令 \(\sup E=\alpha\)，首先 \(\alpha\geqslant \frac{a}{1+a}\)，下證 \(\alpha^n=a\)。

​ 假設 \(\alpha^n<a\)，選取一個 \(h\in(0,1)且 h<\frac{a-\alpha^n}{n(1+\alpha)^{n-1}}\)。

​ 於是 \((\alpha + h)^n-\alpha^n<hn(\alpha+h)^{n-1}<h\times n(1+\alpha)^{n-1}<a-\alpha^n\Rightarrow(\alpha+h)^n<a\)

​ \(\Rightarrow(\alpha+h)\in E\) 與 \(\alpha=\sup E\) 矛盾。

​ 假設 \(\alpha^{n}>a\)，令 \(k=\frac{\alpha^n-a}{n\alpha^{n-1}}\)，則 \(0<k<\alpha\)。

​ 如果 \(t\in \R\) 且 \(t\ge \alpha -k>0\)，則有

​ \(\alpha^n-t^n\le \alpha^n-(\alpha-k)^n<k\times n\alpha^{n-1}=\alpha^n-a\Rightarrow t^{n}>a\Rightarrow t\not\in E\)

​ \(\Rightarrow \alpha-k\) 是 \(E\) 的一個上界，與 \(\alpha=\sup E\) 矛盾。

設 \(a>0,b\in \R\)，定義 \(a^b\)

1. 當 \(b\in \Z^+\) 時，\(a^b\triangleq a\times a\times\dots a\)（\(n\) 個 \(a\) 相乘）。

   \(b=0,a^{0}\triangleq 1\)。

2. 當 \(b\in \Z-\N\) 時，\(a^b\triangleq \frac{1}{a^{-b}}\)。

3. 當 \(b=\frac{m}{n}\in Q,m\in\Z,n\in\Z^+\) 時 \(a^b=(a^{\frac{1}{n}})^m\)。

   \[\begin{aligned} f:&\Q\to\R\\ &x\to a^x \end{aligned} \]

4. 當 \(b\in\R-\Q\) 時

   \[a^b\triangleq \begin{cases} \sup\{a^x|x\in \Q 且 x<b\}&,a>1\\ \inf\{a^x|x\in\Q 且 x<b\}&,a\in(0,1) \end{cases} \]

   易證上述兩個集合均非空。

奇（偶）函式

設 \(f:D\to \R\) 是一個函式，又設 \(D\) 關於原點對稱（即 \(\forall x\in D,-x\in D\)）。

若 \(\forall x\in D,f(-x)=-f(x)\)，則 \(f\) 為奇函式。

若 \(\forall x\in D,f(-x)=f(x)\)，則 \(f\) 為偶函式。

週期函式

（一般）又設 \(D\) 滿足：\(\exist T\neq 0\)，s.t. \(\forall x\in D, x+T\in D\)，又 \(f\) 滿足：\(\forall x\in D,f(x+T)=f(x)\)，稱 \(T\) 是 \(f\) 的一個週期。

（書上）設 \(f:D\to \R\) 是一個函式，\(D\) 滿足 \(\exist \sigma >0,\forall x\in D,x\pm \sigma \in D\)，又 \(f\) 滿足：\(\forall x\in D,f(x\pm\sigma)=f(x)\)，則稱 \(f\) 是一個週期函式。

按照一般的定義，\(f:(0,+\infin)\to \R\) 也可以是週期函式（單側）。

數列極限

設

\[\begin{aligned} f:&\Z^+\to \R\\ &n\mapsto f(n)\stackrel{\text{寫作}}{=}a_n \end{aligned} \]

稱 \(\{a_n\}\) 是一個（實）數列，稱 \(a_n\) 為數列 \(\{a_n\}\) 的通項。

注意：存在雙側數列，下標取遍 \(\Z\)。

設 \(\{a_n\}\) 是一個數列，若 \(\exist a\in \R\)，使得 \(\forall(\epsilon\in \R且)\epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall(n\in\Z^+且)n>N\)，成立 \(|a_n-a|<\epsilon\)，則稱數列 \(\{a_n\}\) 收斂於 \(a\)，記作 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\)，或 \(a_n\overset{n\to +\infin}{\longrightarrow} a(a_n\to a(n\to+\infin))\)。

否則，則稱 \(\{a_n\}\) 發散：\(\forall a\in \R\)，使得 \(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n>N\)，成立 \(|a_n-a|\ge\epsilon_0\)。

（"\(\epsilon-N\)" 語言）

例題：書上 P22 例3~6。

收斂與發散

設 \(\{a_n\}\) 是一個數列。

收斂

若 \(\exist a\in \R\)，有 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N\)，成立 \(|a_n-a|<\epsilon\)，則稱 \(\{a_n\}\) 收斂於 \(a\)。

若 \(\exist a\in \R\)，有 \(\forall \epsilon>0\)，\(\{a_n\}\) 中僅有有限多項不屬於 \((a-\epsilon,a+\epsilon)\) 中，則稱 \(\lim_{n\to +\infin}a_n=a\)。

發散

若 \(\forall a\in \R\)，有 \(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N>N\)，成立 \(|a_{n_{N}}-a|\ge\epsilon_0\)，則稱 \(\{a_n\}\) 發散。

若 \(\forall a\in \R\)，有 \(\exist \epsilon>0\)，\(\{a_n\}\) 中有無限多項不屬於 \((a-\epsilon,a+\epsilon)\) 中，則稱 \(\{a_n\}\) 發散。

例

證明 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 發散。

證：

1. \(a=1\)，取 \(\epsilon_0=\frac{1}{2}>0\)，\(\forall N\in\Z\)，取 \(n_N=2N>N\)，成立 \(|(-1)^{n_N+1}-1|=2\ge \frac{1}{2}=\epsilon\)。

   由數列不以 \(a\) 為極限的定義得於是可得 \(1\) 不是 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 的極限。

2. 類似的，可以證明 \(a=-1\) 不是 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 的極限。

3. \(a\neq 1\) 且 \(a\neq -1\)，令 \(\epsilon_0=min\{|a-1|,|a+1|,\frac{1}{2}\}>0\)，\(\forall N\in \Z^+\)，取 \(n_N=2N>N\)，成立 \(|(-1)^{n_N+1}-a|=|-1-a|\ge \epsilon_0\)。

   於是可得，\(a\) 不是 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 的極限。

綜上所述，\(\{(-1)^{n+1}\}\) 發散。

另證：\(\lim_{n\to+\infin}a_{2n}=x\) 且 \(\lim_{n\to+\infin} a_{2n-1}=y\)，則 \(\{a_n\}\) 收斂等價於 \(x=y\)。

子列

定義（書上 P31 定義 1）。

特別的，若 \(\{a_n\}\) 的子列 \(\{a_{n_k}\}\) 從第 \(i\) 項開始和 \(\{a_n\}\) 從第 \(j\) 項開始”一摸一樣“，則稱 \(\{a_{n_k}\}\) 是 \(\{a_n\}\) 的一個平凡子列。（注意：\(i,j\) 可以相同也可以不同，要求 \(n_i=j,n_{i+1}=j+1\dots\)）即”去掉 \(\{a_n\}\) 中有限多項得到平凡子列 \(\{a_{n_k}\}\)“。否則稱為非平凡子列。

例題

P24 例8，例9

無窮大數列

\(\{a_n\}\) 是無窮大數列等價於 \(\lim_{n\to\infin}a_n=\infin\)，定義為（”\(M-N\)“ 語言）：

\(\forall M>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N(\Leftrightarrow n\in\cup(+\infin)\cap\Z^+\Leftrightarrow n\in(N,+\infin)\cap\Z^+)\)，有 \(|a_n|>M\)。

稱當 \(n\) 趨向於 \(+\infin\) 時，\(a_n\) 趨向於 \(\infin\)。記作 \(a_n\to \infin(n\to+\infin)\) 或把括號內的寫在箭頭上。

例：\(\{(-1)^nn\}\)。

另：正（負）無窮大數列……：\(\{n\}\)（\(\{-n\}\)）。

收斂數列的性質

1. 唯一性：若 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\) 且 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=b\in\R\)，則 \(a=b\)。

   證明：

   \(\because\)\(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\) 且 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=b\in\R\)

   \(\therefore\forall \epsilon>0\)，\(\exist N_1\in\Z^+,\forall n>N_1\)，有 \(|a_n-a|<\epsilon\)，\(\exist N_2\in\Z^+,\forall n>N_2\)，有 \(|a_n-b|<\epsilon\)，

   令 \(N=N_1+N_2\in\Z^+\)，\(\forall n>N\) 有 \(|a-b|\le|a_{2N}-a|+|b-a_{2N}|<2\epsilon\) \(\Rightarrow a=b\)。

2. 有界性：若 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\)，則 \(\{a_n\}\) 有界。

   證明：\(\because\)……特別地，取 \(\epsilon=1\)，\(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\)，有 \(|a_n-a|<1\)，即 \(|a_n|<|a|+1\)。

3. 保號性：若 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a>0(<0)\)，則 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\)，有 \(a_n>(<)0\)。

   證明：……特別地，取 \(\epsilon=\frac{a}{2}>0\)，\(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\)，有 \(|a_n-a|<\epsilon=\frac{a}{2}\Rightarrow a_n>\frac{a}{2}>0\)。

4. 保不等式性

   若兩數列存在極限且從某一項開始 \(a_n\le b_n\) 恆成立，則 \(a=\lim a_n\le \lim b_n=b\)（反證法：令 \(\epsilon=\frac{|b-a|}{3}\)，\(n\) 足夠大時 \(a_n\in(a-\epsilon,a+\epsilon)\)，\(b_n\in(b-\epsilon,b+\epsilon)\)，\(a_n\) 必然比 \(b_n\) 大）。

   注意，就算 \(a_n<b_n\)，極限也是 \(\le\)，例如 \(\{\frac{1}{n+1}\}\) 和 \(\{\frac{1}{n}\}\)。

5. 迫斂性（夾逼原則、兩邊夾法則）

   設 \(\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\) 是三個數列，若 \(\exist N_0\in\Z^+\)，\(\forall n>N_0\) 有 \(a_n\le c_n\le b_n\)，且 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=\lim\limits_{n\to+\infin}b_n=a\in\R\)，則 \(\lim\limits_{n\to+\infin}c_n=a\)。

   證明：\(\because\)…… \(a-\epsilon< a_n\le c_n\le b_n<a + \epsilon\)……

例

設 \(a_n\ge 0,n=1,2,\dots\)，且 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in \R\)，證明 \(\lim\limits_{n\to+\infin}\sqrt {a_n}=\sqrt a\)。

證明：

1. 若 \(a=0\)，因為 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=0\)，所以 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,|a_n|<\epsilon^2\Rightarrow |\sqrt{a_n}|<\epsilon\)。

2. 若 \(a\neq 0\)（分母有理化），\(|\sqrt{a_n}-\sqrt a|=\frac{|a_n-a|}{|\sqrt{a_n}+\sqrt a|}\)。

   \(\because \lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a>0\)，\(\therefore \exist N\in\Z^+,\forall n>N,a_n>\frac{a}{4}\Rightarrow\sqrt{a_n}>\frac{\sqrt{a}}{2}\Rightarrow0<\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt a}<\frac{2}{3\sqrt{a}}\)。

   又 \(\forall \epsilon>0,\exist \tilde N>N,\forall n>\tilde N\) 有 \(|a_n-a|<\frac{3\sqrt{a}}{2}\times \epsilon\)……即證。

例（迫斂性）

證明 \(n^{\frac{1}{n}}\to 1(n\to +\infin)\)。

證明：令 \(h_n=n^{\frac{1}{n}}-1\)，則 \(d\)，則 \(0<h_n<\frac{2}{n}\)……

例

證明：\(\lim_{n\to+\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0\)

證：\(\forall \epsilon>0\)，因為 \(\lim_{n\to+\infin}\frac{\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^n}{n!}=0\)（上節課證明過），

由極限定義知：

\[\lim_{n\to+\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0 \]

所以 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\)，有 \(\frac{\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^n}{n!}<1\)，即 \(\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}<\epsilon\)。

或者用 Stirling 公式。

收斂數列四則運算

設 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\)，\(\lim_{n\to+\infin}b_n=b\in\R\)，則：

1. \[\lim_{n\to+\infin}(a_n\pm b_n)=a\pm b \]

   證明：

   \[0\le|a_n+b_n-(a+b)|\le|a_n-a|+|b_n-b| \]

   兩邊的極限都是 \(0\)。

2. \[\lim_{n\to+\infin}(a_nb_n)=a\cdot b \]

   證明：

   \[\begin{aligned} 0\le|a_nb_n-ab|&=|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab|\\ &\le|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a| \end{aligned} \]

   兩邊極限都是 \(0\)。（\(a_n\) 有界，故可以找到絕對值的上界）。

3. 若 \(\forall n\in\Z^+,b_n\neq 0,b\neq 0\)，則有

   \[\lim_{n\to+\infin}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b} \]

   

命題：數列 \(\{a_n\}\) 收斂 \(\Leftrightarrow\) \(\{a_n\}\) 的所有非平凡子列收斂。

證明：\(\Rightarrow\) 對於任意 \(\{a_{n_{k}}\}\) 是 \(\{a_n\}\) 的非平凡子列，總有 \(n_{k}\ge n\)，易證。

\(\Leftarrow\) \(\{a_{2k}\},\{a_{3k}\},\{a_{2k-1}\}\) 都是 \(\{a_n\}\) 的非平凡子列。由題知：他們均收斂。

\(\{a_{6k}\}\) 是 \(\{a_{3k}\}\) 和 \(\{a_{2k}\}\) 的公共子列，且也是 \(\{a_{n}\}\) 的非平凡子列。設其極限為 \(a\)…… \(\{a_{2k}\},\{a_{3k}\}\) 極限均為 \(a\)。

又 \(\{a_{6k-3}\}\) 是 \(\{a_{2k-1}\}\) 和 \(\{a_{3k}\}\)……從而 \(\lim_{n\to+\infin}a_{2n-1}=a\)。

於是有 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\)。

數列極限存在的一些判定條件

單調有界定理：

（在實數系中，）若 \(\{a_n\}\) 單調（遞增/遞減）有（上/下）界，則 \(\{a_n\}\) 收斂。

證明：

1. 設 \(\{a_n\}\) 單增有上界，令 \(E=\{a_n|n\in \Z^+\}\sub \R\)，且 \(E\neq \varnothing\) 且 \(E\) 有上界，有確界原理知：\(E\) 存在上確界，令 \(\alpha=\sup E\in \R\)，下證明：\(\lim_{n\to+\infin}a_n=\alpha\)。

   因為 \(\alpha=\sup E\)，所以：

   1. \(\forall n\in\Z^+,a_n\le\alpha\)。
   2. \(\forall \epsilon>0,\exist a_{n_0}\in E\)，使得 \(a_{n_{0}}>\alpha-\epsilon\)。

   於是有對於任意的 \(\epsilon>0\)，取 \(N=n_0\in\Z^+,\forall n>N\)，有 \(a-\epsilon<a_{n_0}\le a_n\le \alpha\le\alpha+\epsilon\)。

   即 \(|a_n-\alpha|<\epsilon\)。

2. 單減同理。

• 例：\(a_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n^2}\)，證明其收斂。

  只需證明 \(a_n\) 單增並用裂項相消求任意上界（比如 \(2\)）。

• 例：\(a_{n}=\sum_{i=0}^n\frac{1}{n!}\)，證明收斂。

  單增。裂項，有上界 \(3\)。

• P34 例三

• 重要極限：P34 例四

  \(\forall n\in\Z^+\)，令 \(b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)，證明 \(\{b_n\}\) 收斂。

  證明：\(b_1=2,n\in\Z^+-\{1\}\)。

  \[\begin{aligned} b_{n}&=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\ &=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(\frac{1}{n}\right)^k\\ &=1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!n^k}\\ &=2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\dots(1-\frac{k-1}{n})\\ b_{n+1}&=2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})\dots(1-\frac{k-1}{n+1}) \end{aligned} \]

  所以 \(\forall n\in\Z^+,b_n<b_{n+1}\)。

  \[b_n\le2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}<3 \]

  （由上面第二個例題知）故有界。

• P35 例五，證明任意數列都存在單調子列。

緻密性定理

任何一個有界數列必有收斂子列。

證明：任何數列必有單調子列（P35例五），該子列有界，故……

柯西收斂準則

P36

\(\{a_n\}\) 收斂等價於 \(\forall\epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n,m>N\) 有 \(|a_n-a_m|<\epsilon\)，則稱 \(\{a_n\}\) 是一個 Cauchy 列（基本列）。

等價定義：\(\forall\epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,p\in \Z^+\) 有 \(|a_n-a_{n+p}|<\epsilon\)。

書上 P36 證明等價。

證明 Cauchy 列 \(\{a_n\}\) 有界：

特別地，對於 \(\epsilon=1\)，有 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N,p\in\Z^+\)，有 \(|a_{n+p}-a_n|<\epsilon\)

\(\Rightarrow \forall p\in\Z^+,|a_{N+1+p}|<|a_{N+1}|+1\)，則其有界 \(\max\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_{N+1}|+1\}\)。

則由緻密性定理知：存在子列 \(\{a_{n_k}\}\) 有極限 \(\zeta\)。

則 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+\)，使得 \(\forall n>N\) 有 \(|a_n-\zeta|=|a_n-a_{n_{N+K}}+a_{n_{N+K}}-\zeta|\le|a_n-a_{n_{N+K}}|+|a_{n_{N+K}}-\zeta|<\epsilon\)。

習題課：

\(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\ln n+\epsilon_n\)

\(\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\frac{1}{i}=(\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i})-(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i})=\ln 2+\epsilon_{2n}-\epsilon_n\)

確界原理 \(\Rightarrow\) 單調有界定理 \(\Rightarrow\) 緻密性定理 \(\Rightarrow\) Cauchy 收斂準則。

證明：\(\{a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\}\) 不收斂

證：只需證明 \(\{a_n\}\) 不是柯西列

\(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N>N,\exist p_N\in\Z^+\)，有 \(|a_{n_N+p_N}-a_{n_N}|\ge \epsilon_0\)。

因為：\(1,\frac{1}{2},\frac13+\frac14,\frac15+\frac16+\frac17+\frac18,\dots\) 均大於等於 \(\frac12\)。

設 \(D\subseteq \R\) 且 \(x_0\in\R\)，若 \(\exist\{x_n\}\) 滿足 \(\forall n\in\Z^+,x_n\in D,\forall n,m\in\Z^+ 且 n\neq m，則 x_n\neq x_m\)，且 \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\)，則稱 \(x_0\) 是 \(D\) 的一個聚點。

函式極限

設 \(f:D\to \R\) 是一個函式。

\[\begin{aligned} &y=f(x),x\in D,&x_0\in\R\\ x&\to+\infin&y&\to+\infin\\ x&\to-\infin&y&\to-\infin\\ x&\to\infin&y&\to\infin\\ x&\to x_0&y&\to y_0\in\R\\ x&\to x_0+&y&不趨向於任意實數或+\infin或-\infin\\ x&\to x_0-&\\ \end{aligned} \]

共 30 種可能。

先考慮極限存在的情況：

1. （\(\epsilon-M\) 語言）若 \(+\infin\) 是 \(D\) 的一個無限聚點，若 \(\exist a\in\R,\forall \epsilon>0,\exist M>0,\forall x\in D且 x>M\)，有 \(|f(x)-a|<\epsilon\)。稱 \(f\) 當 \(x\) 趨向於 \(+\infin\) 時以 \(a\) 為極限，記作 \(\lim_\limits{x\to+\infin\\x\in D}f(x)=a\)（\(x\in D\) 可不寫）。

2. \(-\infin\) 類似 1。

3. 若 \(\infin\) 是 \(D\) 的一個無限聚點，若…… \(\forall x\in D 且 |x|>M\) ……

   例 證明：\(\lim_\limits{x\to+\infin}\frac{1}{x}=0\)，\(\lim_\limits{x\to-\infin}\frac{1}{x}=0\)，\(\lim_\limits{x\to\infin}\frac{1}{x}=0\)。

   只證第一個：\(\forall \epsilon>0,\exist M=\frac1{\epsilon}\)，則 \(\forall x>M\) 有 \(|\frac1x-0|=\frac{1}{x}<\frac1M=\epsilon\)。

4. （\(\epsilon-\delta\) 語言）若 \(x_0\) 是 \(D\) 的一個聚點，若 \(\exist a\in \R\)，\(\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall x\in D 且 0<|x-x_0|<\delta\)，有 \(|f(x)-a|<\epsilon\)，稱當 \(x\to x_0\) 時以 \(a\) 為極限，記作 \(\lim_\limits{x\to x_0}f(x)=a\)。

5. 若 \(x_0\) 是 \(D\) 上一個聚點且 \(\exist\{x_n\}\) 兩兩不同，\(x_n>x_0\) 且 \(x_n\in D\)，s.t. \(\lim_\limits{n\to+\infin}x_n=x_0\)，若 \(\exist a\in \R\)，\(\forall \epsilon >0,\exist\delta>0,\forall x\in D 且 0<x-x_0<\delta\)，有 \(|f(x)-a|<\epsilon\)，則稱 \(f\) 當 \(x\to x_0+\) 時以 \(a\) 為極限，記作 \(\lim_\limits{x\to x_0+}f(x)=a\)。

6. 類似 5。

函式極限的性質

以下為了方便總假設 \(f\) 在 \(\mathring{U}(x_0;\tilde\delta)\) 上有定義（\(x_0\in\R,\tilde\delta>0\)）。

1. 唯一性：若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R\)，又 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=b\in\R\)，則 \(a=b\)。

2. 區域性有界性：若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R\)，則 \(\exist \delta>0,M>0,\forall x\in\mathring U(x_0;\delta)\)，有 \(|f(x)|\le M\)。

3. 區域性保號性：若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R\)，且 \(a>0\)，則 \(\exist \delta>0,\forall x\in\mathring U(x_0;\delta)\)，有 \(f(x)>\frac{a}{2}>0\)。\(a<0\) 同理。

4. 區域性保不等式性：若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R,\lim_{x\to x_0} g(x)=b\in\R\)，且 \(\exist \delta_1>0,\forall x\in\mathring U(x_0;\delta_1)\)，有 \(f(x)\le g(x)\)，則 \(a\le b\)。（反過來敘述：若 \(a<b\)，則 \(f(x)\le g(x)\)）。

5. （迫斂性）夾逼原理：設 \(f,g,h\) 在 \(x_0\) 的一個去心鄰域 \(\mathring U(x_0;\tilde\delta)\) 內有定義，且滿足 \(\forall x\in\mathring U(x_0;\tilde\delta)\)，有 \(f(x)\le g(x)\le h(x)\)，又 \(\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x)=a\in\R\)，則 \(\lim_{x\to x_0}g(x)=a\)。

6. （四則運算）：設 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\in\R,\lim_{x\to x_0}g(x)=b\in\R\)，則有

   1. \(\lim_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=a\pm b\)。
   2. \(\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot g(x)=ab\)。
   3. 若 \(b\neq 0\)，則 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}\)。

   注意：需要保證極限均存在。

7. 複合函式求極限的一些充分條件

   例：若 \(\lim_{x\to a}g(x)=A,\lim_{y\to A}f(y)=B\)，問：是否有 \(\lim_{x\to a}f(g(x))=B\)？

   否，反例：

   \[\begin{aligned} g(x)&\equiv 0\\ f(x)&=\begin{cases} 1&,y=0\\ 0&,y\neq 0 \end{cases} \end{aligned} \]

   設 \(\lim_{x\to a}g(x)=A,\lim_{y\to A} f(y)=B\)，存在 \(a\) 的某個去心鄰域 \(\mathring U(a)\)，使得 \(\forall x\in\mathring U(a),g(x)\in D_f\)，如果滿足以下條件之一：

   1. \(\exist a\) 的某個去心鄰域 \(\tilde{\mathring{U}}(a)\sub \mathring U\)，且 \(\forall x\in\tilde{\mathring U},g(x)\neq A\)。

      證明：

      \[\lim_{y\to A}f(y)=B\Leftrightarrow\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall y\in\{t\in D_f|0<|t-A|<\delta\},|f(y)-B|<\epsilon \]
      \[\lim_{x\to a}g(x)=A\Leftrightarrow\forall \delta>0,\exist \gamma>0,\forall x\in\{s\in D_g|0<|s-a|<\gamma\},|g(x)-A|<\delta \]

      由條件知 \(0<|g(x)-A|\)，故可用變數替換 \(g(x)\)。

   2. \(\lim_{y\to A} f(y)=f(A) 且 A\in \R\)。（常用）

   3. \(A=\infin(+\infin 或 -\infin),B\in \R\)。

   則有 \(\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to A}f(y)=B\)。（變數替換）

海涅定理（Heine Theorem）

設 \(f\) 在 \(\mathring U(x_0;\delta)\) 內有定義，則有

1. 若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在，則 \(\forall \{x_{n}\}(x_n\in\mathring U(x_0;\delta))\) 且 \(\lim_{n\to +\infin}x_n=x_0\)，由 \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)\) 存在且等於 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\)。（易證）

2. 若 \(\forall \{x_n\}(x_n\in\mathring U(x_0;\delta))\) 且 \(\lim_{n\to +\infin}x_n=x_0\)，對應的函式值數列 \(\{f(x_n)\}\) 均收斂，則 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 必存在。\(\exist a\in \R\)，使得：

   1. \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)=a\)。

      證明：取 \(\{y_n\}\) 滿足 \(y_n\in\mathring U(x_0;\delta)\) 且 \(\lim_{n\to +\infin}y_n=x_0\)，由題意 \(\{f(y_n)\}\) 收斂，不妨設 \(\lim_{n\to+\infin}f(y_n)=a\in\R\)。

      再任取 \(\{x_n\}\)，滿足 \(x_n\in\mathring U(x_0;\delta)\) 且 \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\)，由題意 \(\{f(x_n)\}\) 收斂。

      再任取 \(\{z_n\}\)，\(z_{2k-1}=y_k 且 z_{2k}=x_k\)，則滿足 \(z_n\in\mathring U(x_0;\delta)\) 且 \(\lim_{n\to+\infin}z_n=x_0\)，由題意 \(\{f(z_n)\}\) 收斂且極限與 \(\{f(y_n)\}\) 和 \(\{f(x_n)\}\) 相同，故 \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)=a\)。

   2. \(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\)。

      若 \(f(x)\) 當 \(x\to x_0\) 時不以 \(a\) 為極限，則 \(\exist \epsilon_0>0,\forall \delta>\tilde\delta>0,\exist x\in\mathring U(x_0;\tilde\delta)\) 有 \(|f(x)-a|\ge\epsilon_0\)

      依次取 \(\tilde\delta=\min\{\delta,\frac1n\}\)（\(n=1,2,\dots\)），\(\exist x_n\in\mathring U(x_0;\tilde\delta)\)，使得 \(|f(x_n)-a|\ge \epsilon_0\)，則 \(x_n\in\mathring U(x_0,\delta)\)，且 \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\)，由 2.1 知 \(\{f(x_n)\}\) 收斂於 \(a\)，與 \(|f(x_n)-a|\ge \epsilon_0\) 矛盾，故 \(\lim_{x\to x_0} f(x) = a\)。

柯西準則

設 \(f\) 在 \(\mathring U(x_0;\rho)\) 上有定義，則 \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) 存在等價於 \(\forall \epsilon>0,\exist\delta >0,\forall x_1,x_2\in\mathring U(x_0;\delta)\)，有 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\)。

（充分性好證）

必要性證明：

在 \(\mathring U(x_0;\rho)\) 中任取一個數列 \(\{x_n\}\) 滿足 \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\)，……，從而得到 \(\{f(x_n)\}\) 是一個 Cauchy 列，由數列極限的柯西收斂原理知：\(\{f(x_n)\}\) 收斂，設為 \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)=a\in\R\)。

對於題設中的 \(\epsilon>0\)，\(\exist N_1\in\Z^+,\forall n>N_1\)，有 \(|f(x_n)-a|<\epsilon\)（且 \(x_{n}\in\mathring U(x_0,\delta)\)），\(\forall x\in\mathring U(x_0;\delta)\)，有 \(|f(x)-a|\le|f(x)-f(x_{N+1})|+|f(x_{N+1})-a|<2\epsilon\)。

由題知：\(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\)。得證。

重要極限

1. \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

   \(\forall x\in(0,\frac{\pi}{2}),\sin x<x<\tan x\)，故 \(\cos x < \frac{\sin x}{x}<1\)，當 \(x\to 0+\) 時，三者極限均為 \(1\)。

2. \(\lim_{x\to\infin}(1+\frac{1}{x})^x=e\)

   證明基礎：\(\lim_{n\to+\infin}(1+\frac{1}{n})^n=e\)。

   書上 P54

無窮小量與無窮大量

無窮小量

設 \(x_0\in\R,\rho >0\) 為常數，\(f\) 在 \(\mathring U(x_0;\rho)\) 上面有定義，若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=0\)，則稱 \(f\) 為當 \(x\to x_0\) 時的無窮小量，記作 \(f(x)=o(1),x\to x_0\)

若 \(f\) 在某個 \(x_0\) 的上有界，則稱 \(f\) 為當 \(x\to x_0\) 時的有界量。

無窮小量階的比較

注意：兩個無窮小量的比值可能不存在，這組無窮小量不能比較。

設 \(f,g\) 都是當 \(x\to x_0\) 時的無窮小量。

1. 若 \(\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0\)：則稱當 \(x\to x_0\) 時，\(f\) 是 \(g\) 的高階無窮小量，也稱當 \(x\to x_0\) 時，\(g\) 是 \(f\) 的低階無窮小量，記作 \(f(x)=o(g(x)),x\to x_0\)。

   \(o(g(x))\) 的含義（“小歐 ”）：

   \[o(g(x))=\left\{在 \mathring U(x_0) 上有意義的 f|\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\right\} \]

   所以上面的 \(=\) 其實是 \(\in\)，只是記作 \(=\)。

   例：\(o(x^2)+o(x)=o(x)\)。

2. 若存在兩個正數 \(K\le L\) 及一個 \(x_0\) 的去心鄰域 \(\mathring U(x_0)\)，使得 \(\forall x\in \mathring U(x_0)\)，有 \(K\le\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le L\)，則稱 \(f\) 和 \(g\) 為當 \(x\to x_0\) 時的同階無窮小量。

   特別地，若 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c\neq 0\)，則 \(f\) 和 \(g\) 為當 \(x\to x_0\) 時的同階無窮小量。

   注意：\(x^2\) 和 \(x^2\sin\frac1x\) 不是 \(x\to 0\) 時的同階無窮小量，但是 \(x^2\) 和 \(x^2(\sin\frac1x+2)\) 是 \(x\to 0\) 時的同階無窮小量，即使他們相除的極限不存在。

   若 \(\exist L>0\)，以及一個 \(\mathring U(x_0)\)，使得 \(\forall x\in \mathring U(x_0)\)，有 \(|\frac{f(x)}{g(x)}|\le L\)，則記作 \(f(x)=O(g(x)),x\to x_0\)（“大歐”，不要求 \(f,g\) 均為無窮小量）。（幾乎不用）

3. 等價無窮小量。

   若 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，則稱 \(f\) 和 \(g\) 為當 \(x\to x_0\) 時的等價無窮小量，記作 \(f(x)\sim g(x),x\to x_0\)。

等價替換定理：設 \(f,g,h\) 在 \(\mathring U(x_0)\) 上有定義，且 \(f(x)=o(1),x\to x_0\)，\(g(x)=o(1),x\to x_0\)，且 \(f(x)\sim g(x),x\to x_0\)，則有：

1. 若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)h(x)=A\in \R\)，則 \(\lim_{x\to x_0} g(x)h(x)=A\)；
2. 若 \(\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)}{f(x)}=B\in\R\)，則 \(\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)}{g(x)}=B\)。

\[\log_😄😅=💧 \]

無窮大量

設 \(f\) 在 \(\mathring U(x_0,\rho),(\rho >0)\) 上有定義，若 \(\forall G>0,\exist 0<\delta <\rho,\forall x\in \mathring U(x_0,\delta)\)，成立 \(f(x)>G\)，則稱 \(f\) 當 \(x\to x_0\) 時以 \(+\infin\) 為“極限”，記作 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infin\)，（\(-\infin,\infin\) 同理）。

\[\lim_{x\to+\infin}f(x)=+\infin\Leftrightarrow\forall G>0,\exist M>0,\forall x\in(M,+\infin)(\cap D_f),有 f(x)>G \]

例：證明 \(\lim_{x\to+\infin}e^x=+\infin\)

證：

\[\because \lim_{n\to+\infin} e^n=+\infin(e^n=(1+e-1)^{n}\ge 1+n(e-1))\\ \therefore \forall G>0,\exist N\in \Z^+,\forall n<N,e^n>G\\ 又 \because e^x 單增\\ \therefore\dots(從整數到實數) \]

例：\(\lim_{x\to+\infin}a^x=+\infin\Rightarrow \lim_{x\to-\infin}a^x=0\)。

證：由題 \(\forall G>0,\exist M>0,\forall x>M,a^x>G\)。

所以 \(\forall \epsilon>0\)，令 \(G=\frac{1}{\epsilon}>0,\exist M>0,\forall x>M\)，有 \(a^x>G=\frac1\epsilon\)，於是令 \(x=-t\)，有 \(\frac{1}{a^t}>\frac1\epsilon\)，\(\forall t<-M\)，有 \(0<a^t<\epsilon\)。

漸近線

稱 \(y=f(x),x\in D\) 的函式影像是一條“曲線”（平面曲線）。

• 連續曲線
• 光滑曲線
• 分段光滑曲線

如果點 \((x,y)\) 沿著曲線 \(y=f(x)\) 連續變化如下：

當點 \((x,y)\) 的兩個座標之一趨向於無窮時，此點到某一定直線 \(y=kx+b\)（或 \(x=C\)（\(C\) 是常數））的距離趨向於 \(0\)，則稱此直線為曲線 \(y=f(x)\) 的一條漸近線。

• \(y=C\) 水平漸近線

• \(x=C\) 垂直漸近線

  若 \(\exist x_0\in D_f'\)，且 \(\lim_{x\to x_0+}f(x)=\infin\)（或 \(\pm\infin\)）或 \(\lim_{x\to x_0-}f(x)=\infin,\pm\infin\)，稱 \(x=x_0\) 為 \(y=f(x)\) 的垂直漸近線。

• \(y=kx+b\) 斜漸近線..

  \(k,b\) 為待定常數。

  \[\begin{aligned} &\lim_{x\to +\infin}\frac{|f(x)-(kx+b)|}{\sqrt{1+k^2}}=0\\ \Rightarrow&\lim_{x\to+\infin}(f(x)-(kx+b))=0\\ \end{aligned} \]

  若 \(\lim_{x\to+\infin}\frac{f(x)}{x}=k\in\R\) 且 \(\lim_{x\to +\infin}(f(x)-kx)=b\in\R\)，則稱 \(y=kx+b\) 是 \(y=f(x)\) 的一條（右）斜漸近線。

  左漸近線同理。

例：求曲線 \(y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\) 的漸近線。

解：函式 \(y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\) 的定義域為 \((1,+\infin)\cup(-\infin,-1)\)。

\(\because \lim_{x\to1+}\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=+\infin,\therefore x = 1\) 是曲線 \(y=f(x)\) 的一條垂直漸近線。（\(x\to-1-\) 同理）

\[\lim_{x\to+\infin}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infin}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\lim_{x\to+\infin}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=1\\ \lim_{x\to+\infin}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim_{x\to+\infin}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}(x-\sqrt{x^2-1})=1\cdot 0=0 \]

所以 \(y=x\) 是 \(y=f(x)\) 的（右）（斜）漸近線，左斜漸近線同理。

*例：求 \(y=\ln x\) 的漸近線。

解：\(\lim_{x\to0+}\ln x=-\infin\)，所以 \(x=0\) 是 \(y=\ln x\) 的漸近線。

\(\lim_{x\to+\infin}\frac{\ln x}{x}=0\)（後面再證，\(\lim_{n\to+\infin}\frac{n^k}{a^n}=0\)）……

函式連續定理

設 \(f:D\to\R\) 是一個函式，\(x_0\in D\)，

若 \(\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall x\in U(x_0,\delta)\cap D\)，有 \(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)，則稱 \(f\) 在 \(x_0\) 處連續。

（孤立點的定義：設 \(D\) 是 \(\R\) 的一個非空子集，若 \(x_0\in D\) 且 \(\exist \delta >0\)，s.t. \(U(x_0;\delta)\cap D=\{x_0\}\)，則稱 \(x_0\) 為 \(D\) 的一個孤立點。）

注：

1. 若 \(x_0\in D'\)，則 \(f\) 在 \(x_0\) 處連續 \(\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}f(x) =f(x_0)\)。
2. \(f\) 在 \(D\) 的孤立點處“自動”連續

\(\forall x\in D,x_0\in D\)，令 \(\Delta x=x-x_0\)，稱 \(\Delta x\) 為自變數 \(x\) 的增量

\(\forall y\in f(D),y_0\in f(D)\)，令 \(\Delta y=y-y_0\)，稱 \(\Delta y\) 為因變數 \(y\) 的增量

稱 \(\Delta y|_{x=x_0}\) 為函式 \(y=f(x)\) 在 \(x=x_0\) 處的函式增量。

若 \(f\) 在 \(x_0\) 處連續，則有 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(\lim_{x\to x_0}x)\)。

右連續：\(\lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0)\)，左同理。

\(f\) 在 \(x_0\) 處連續等價於 \(f\) 在 \(x_0\) 處既左連續又右連續。

間斷點（不連續點）及其分類

設 \(f:D\to \R\) 是一個函式。

（間斷點的考慮範圍是 \(D'\cup D\) 記作 \(\overline D\)（稱作 \(D\) 的閉包））（\(D'\) 應該是 \(\{x|\forall \delta>0,U(x,\delta)\cap D\neq \varnothing\}\)）

1. 可棄間斷點：若 \(\lim_{x\to x_0+}f(x)=\lim_{x\to x_0-}f(x)=a\)，且 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處無定義或 \(a\neq f(x_0)\)，則稱 \(x_0\) 為 \(f(x)\) 的可棄間斷點。

   \[f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}&,x\neq 0\\ 0&,x=0\end{cases} \]

   \(x=0\) 是 \(f(x)\) 可棄間斷點。

2. 跳躍間斷點：若 \(\lim_{x\to x_0+}f(x)\neq\lim_{x\to x_0-}f(x)\)，無論 \(f\) 在 \(x_0\) 處是否有定義，都稱 \(x_0\) 為 \(f\) 的跳躍間斷點。

   \[f(x)=\begin{cases}e^x&,x>0\\0&,x\le 0\end{cases} \]

   \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的跳躍間斷點。

3. 除去前兩種（第一類間斷點）的間斷點都稱為第二類間斷點。

   \(x=0\) 是 \(f(x)=e^{\frac1x}\) 的第二類間斷點（右極限不存在）。

分段連續：\(f\) 在 \([a,b]\) 區間上僅有有限個間斷點。

黎曼函式 \(R(x)\)：\(\Q\cap(0,1)\) 為 \(R(x)\) 所有間斷點且為可去間斷點。

連續函式的性質

Th. 若 \(f\) 在 \(x_0\) 處連續，\(g\) 在 \(y_0=f(x_0)\) 處連續，且 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 處的某個鄰域有定義，則 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 處連續。

\[\lim_{x\to x_0}g(f(x))\overset{g連續}=g(\lim_{x\to x_0}f(x))\overset{f連續}=g(f(x_0)) \]

連續函式的區域性性質

1. 區域性有界性

2. 區域性保號性

3. 四則運算

   若 \(f,g\) 在 \(x_0\) 處連續，則 \(f\pm g,f\cdot g\) 在 \(x_0\) 處均連續。

   進一步，若 \(g(x_0)\neq 0\)，則 \(\frac{f}{g}\) 在 \(x_0\) 處也連續。

4. 複合函式連續性

   若 \(f\) 在 \(x_0\) 處連續，\(g\) 在 \(y_0=f(x_0)\) 處連續，且 \(g\circ f\) 在 \(U(x_0)\) 上有定義，則 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 處連續。

連續函式的基本性質

1. 有界性定理

   若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，則 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界。

   證明：反證法，假設 \(f\) 在 \([a,b]\) 上無界，不妨設 \(f\) 在 \([a,b]\) 上無上界。

   \(f\) 在 \([a,b]\) 上有上界 \(\Leftrightarrow \exist M>0,\forall x\in [a,b],\texttt{s.t.}f(x)\le M\)。

   \(f\) 在 \([a,b]\) 上無上界 \(\Leftrightarrow \forall M>0,\exist x\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x)>M\)。特別地，\(\forall n\in\Z^+,\exist x_n\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_n)>n(*)\)。

   因為數列 \(\{x_n\}\) 中每一項均在 \([a,b]\) 中，所以 \(\{x_n\}\) 有界。

   由緻密性定理知，存在 \(\{x_n\}\) 的一個收斂子列 \(\{x_{n_k}\}\)，不妨設其極限為 \(x_0\)。

   又因為 \(\forall k\in \Z^+,a\le x_{n_k}\le b\)，所以 \(a\le \lim_{k\to +\infin}x_{n_k}\le b\Rightarrow x_0\in[a,b]\)，不妨設 \(x_0\in(a,b)\)（右連續左連續的要單獨討論）。

   由題意知 \(f\) 在 \(x_0\) 上連續，故有 \(\lim_{k\to +\infin}f(x_{n_k})=f(x_0)\in\R\)，又由 \((*)\) 知\(\lim_{k\to+\infin}f(x_{n_k})=+\infin\)，矛盾。

2. 最值定理

   若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，則 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可取到最大值和最小值，即 \(\exist x_1\in[a,b],\texttt{s.t.} f(x_1)=\sup f([a,b])\)，\(\exist x_2\in[a,b],\texttt{s.t.} f(x_2)=\inf f([a,b])\)。

   證明：由 1 和確界定理可設 \(f([a,b])\) 上確界為 \(\alpha\)，下證 \(\exist x_1\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_1)=\alpha\)。

   用反證法，假設 \(\forall x\in [a,b]\)，均有 \(f(x)<\alpha\)，令 \(g(x)=\frac{1}{\alpha-f(x)},x\in[a,b]\)，有 \(\forall x\in [a,b],g(x)>0\) 且 \(g(x)\) 連續。

   由有界性定理知，\(g\) 在 \([a,b]\) 上有上界，設為 \(G>0\)，於是 \(\forall x\in [a,b]\) 有 \(0<g(x)=\frac{1}{\alpha-f(x)}\le G\)，從而 \(f(x)\le \alpha-\frac{1}{G},\forall x\in[a,b]\)，矛盾。

3. 以下兩個定理等價

   • 介值定理

     若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，由此可令 \(m=\min f([a,b]),M=\max f([a,b])\)，則 \(\forall \mu\in[m,M],\exist x_0\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_0)=\mu\)。

     推論：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，則 \(f([a,b])=[m,M]\)。

   • 根的存在性定理（零點存在性定理）

     若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，且 \(f(a)\cdot f(b)<0\)，則 \(\exist x^*\in(a,b),\texttt{s.t.}f(x^*)=0\)。

     證明：不妨設 \(f(a)<0,f(b)>0\)。

     令 \(E=\{x\in[a,b]|f(x)>0\}\)，因為 \(b\in E\)，所以 \(E\neq \varnothing\)。

     又因為 \(\forall x\in E\)，有 \(a\le x\le b\)，所以 \(E\) 有界，由確界原理得 \(E\) 存在上下確界，設 \(\alpha=\inf E\in \R\)。

     因為 \(f(a)<0\)，又 \(f\) 在 \(a\) 處右連續，由區域性保號性知，\(\exist b-a>\delta_1>0,\forall x\in[a,a+\delta_1)\)，有 \(f(x)<0\)，所以 \(\alpha\neq a\)。

     因為 \(f(b)>0\) 又 \(f\) 在 \(b\) 處左連續，所以由區域性保號性知，\(\exist \delta_2>0,\forall x\in[b-\delta_2,b]\)，有 \(f(x)>0\)，所以 \(\alpha\neq b\)（\(\because b-\frac{\delta_2}{2}\in E,\therefore b-\frac{\delta_2}{2}\ge\alpha\)）。

     下證 \(f(\alpha)=0\)，用反證法，假設 \(f(\alpha)\neq 0\)，不妨設 \(f(\alpha)>0\)，因為 \(\alpha\in[a,b]\)，所以 \(f\) 在 \(\alpha\) 處連續，於是由連續函式的區域性保號性知，\(\exist\delta_3>0,\forall x\in U(\alpha,\delta_3),f(x)>0\)，即 \(U(\alpha,\delta_3)\in E\)，與 \(\alpha=\inf E\) 矛盾。當 \(f(\alpha)<0\) 時類似的可得出矛盾。

     從而 \(f(\alpha)=0\)，令 \(x^*=\alpha\) 即得結論成立。

例：設 \(a>1\)，\(n\in\Z^+\)，證明方程 \(x^n=a\) 有唯一正實根。

證：令 \(f(x)=x^n-a,f(0)=-a<0,f(2a)=(2a)^n-a\ge 2^n\cdot a-a>0\)……

例（不動點）：設 \(a,b\in \R,a<b\)，\(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，且滿足 \(f([a,b])\subseteq [a,b]\)，證明：\(\exist x_0\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_0)=x_0\)，這種 \(x_0\) 被稱為 \(f\) 的不動點。

證明：令 \(g(x)=f(x)-x,x\in[a,b]\)，\(g\) 在 \([a,b]\) 上也連續，且有 \(g(a)=f(a)-a\ge 0\)，若 \(f(a)=a\)，令 \(x_0=a\) 即可，若 \(f(b)=b\)，令 \(x_0=b\) 即可，若 \(f(a)\neq a\) 且 \(f(b)\neq b\)，則 \(g(a)>0,f(b)<0\)，則……。

反函式連續性定理

（若存在反函式）

設函式 \(f:[a.b]\to f([a,b])\) 是連續函式且嚴格單調（不妨設單增），則 \(f^{-1}:f([a,b])\to[a,b]\) 一定存在（\(f\) 是一個雙射），且在 \(f([a,b])\) 上連續，且 \(f^{-1}\) 與 \(f\) 嚴格單調性一致。

證明：因為 \(f\) 單增以及 \(f\) 連續，所以 \(f([a,b])=[f(a),f(b)]\)，下面證明 \(f^{-1}\) 在 \((f(a),f(b))\) 上連續（\(f^{-1}\) 在 \(f(a)\) 處右連續，\(f(b)\) 處左連續類似證明）。

任取 \(y_0\in(f(a),f(b)),\exist x_0\in(a,b),\texttt{s.t.}f(x_0)=y_0,\forall \epsilon>0,\exist x_1\in(a,b),x_2\in(a,b),\texttt{s.t.}x_1<x_0<x_2\)，且 \(x_0-x_1<\frac{\epsilon}2,x_2-x_0<\frac \epsilon 2\)，設 \(f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2\)，由 \(f\) 嚴格單增得：\(y_1<y_0<y_2\)，令 \(\delta =\min\{y_0-y_1,y_2-y_0\}>0,\forall y\in(y_0-\delta,y_0+\delta)\sub(y_1,y_2)\)，有 \(x=f^{-1}(y)\in(x_1,x_2)\Rightarrow|x-x_0|<\epsilon\)，所以 \(f^{-1}\) 在 \(y_0\) 處連續。

基本初等函式在其定義域內是連續的

1. \(f(x)=C\)

2. \(f(x)=\sin x,\sec x,\cos x,\csc x,\tan x,\cot x\)

3. \(f(x)=e^x\)

   \(e^{a+b}=e^ae^b\) 由有理數推廣到實數。

證明 \(e^{\alpha\beta}=(e^{\alpha})^\beta\)，先證 \(\ln x^{\alpha}=\alpha \ln x\)，\(\alpha\in\N\Rightarrow \alpha\in \Z\Rightarrow\alpha \in \Q\)，故 \(\ln (e^\alpha)^\beta=\beta\ln e^{\alpha}=\alpha\beta\ln e\)。

函式的一致連續性

設 \(f\) 在 \(D\) 上有定義，若 \(\forall \epsilon >0,\exist \delta >0,\forall x_1,x_2\in D且|x_1-x_2|<\delta\) 成立 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\)，則稱 \(f\) 在 \(D\) 上一致連續。

例：\(f(x)=\frac{1}{x}\) 在 \((0,1)\) 上連續，但不是一致連續。

例：\(f(x)=x\) 在 \(\R\) 上一致連續。

例：\(f(x)=x^2\) 在 \(\R\) 上不是一致連續。

​ 證：\(\exist \epsilon_0=1,\forall \delta >0,\exist N\in\Z^+,\texttt{s.t.}\frac{1}{N}<\delta\)，令 \(x_1=N+1+\frac{1}{N+1}\in \R,x_2=N+1\in \R\)，滿足 \(x_1-x_2=\frac{1}{N+1}<\frac1{N}<\delta\)，但 \(|f(x_1)-f(x_2)|=|2+\frac{1}{(N+1)^2}|>\epsilon_0=1\)。

​ 但是 \(f(x)=x^2\) 在 \([1,2]\) 上一致連續。

定理：設 \(f\) 在區間 \(I\) 上有定義，則 \(f\) 在 \(I\) 上一致連續 \(\Leftrightarrow\) 在 \(I\) 中任取兩個數列 \(\{x_n\},\{\tilde x_n\}\)，滿足 \(\lim_{n\to+\infin}(x_n-\tilde x_n)=0\)，則 \(\lim_{n\to+\infin}(f(x_n)-f(\tilde x_n))=0\)。

​ 證：\(\Rightarrow\) 易證。

​ \(\Leftarrow\)：用反證法，假設 \(f\) 在 \(I\) 上不一致連續，即 \(\exist \epsilon_0>0,\forall \delta >0,\exist \tilde x,\tilde{\tilde x}\in I 且 |\tilde x-\tilde{\tilde x}|<\delta\)，成立 \(|f(\tilde x)-f(\tilde{\tilde x})|\ge \epsilon_0\)，對於每個 \(\delta_n=\frac1n>0\)，\(\exist \tilde x_n,\tilde{\tilde x_n}\in I\) 且 \(|\tilde x_n-\tilde{\tilde x_n}|<\delta_n\)，成立 \(|f(\tilde x_n)-f(\tilde{\tilde x})|\ge \epsilon_0\)，取這樣的數列即證。

（一致連續性定理）Cantor 定理：設 \(a,b\in\R,a<b\)，則 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 在 \([a,b]\) 上一致連續。

例：設 \(a,b\in]R,a<b\)，\(f\) 在 \((a,b)\) 上一致連續 \(\Leftrightarrow\) \(\lim_{x\to a-}f(x),\lim_{x\to b+}f(x)\) 均存在且 \(f\) 在 \((a,b)\) 連續。

例（書上例 12）：若 \(f\) 在 \(I_1,I_2\) 上都一致連續，且 \(I_1\cap I_2\neq \varnothing\)，則 \(f\) 在 \(I_1\cup I_2\) 上一致連續。

（\(\lim_{x\to0}(1+x)^\frac1x=e\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)）

（若 \(f\) 在 \(x_0\) 處連續，則 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\)，否則一定不成立）

導數和微分

設 \(D\sub \R\) 且 \(D\neq \varnothing\)，\(x_0\in \R\)，若 \(\exist \delta>0\)，s.t. \((x_0-\delta,x_0+\delta)\sub D\)，則稱 \(x_0\) 是 \(D\) 的一個內點，\(D\) 的所有內點組成的集合j記作 \(\mathring D\) 或 \(\operatorname{Int} D\)，稱 \(\mathring D\) 為 \(D\) 的內部。

設 \(y= f(x),x\in I\) 是一個函式（\(I\) 是一個區間），任取 \(\Delta x\neq 0\) 且 \(x+\delta x\in I\)，稱連線影像上兩點的一條直線為曲線 \(y=f(x),x\in I\) 的一條割線。若當 \(\Delta x\to 0\) 時，割線 \(L_{割}\) 的極限位置存在，則稱極限位置所在的直線為曲線 \(y=f(x),x\in I\) 在點 \((x_0,f(x_0))\) 處的切線。

從而，切線的斜率 \(k_{切}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)（若右側極限存在）（\(k_{切}\) 也可以作 \(k_T\)），從而切線為 \(y-f(x_0)=k_T(x-x_0)\)。

導數

設 \(f\) 在 \((x_0-\rho,x_0+\rho)\)（其中 \(\rho>0\)）上有定義，若 \(\lim_\limits{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) 存在，則稱 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導，記 \(\lim_\limits{x\to x_0}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\) 為 \(f'(x_0)\)（萊布尼茨：\(\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=\frac{df}{dx}|_{x=x_0}\)）

設 \(f\) 在 \([x_0,x_0+\rho)\)（其中 \(\rho>0\)）上有定義，若 \(\lim_\limits{x\to x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) 存在，則稱 \(f\) 在 \(x_0\) 處右可導，記為 \(f'_+(x_0)\)。

左可導類似。

Th. 若 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導，則 \(f\) 在 \(x_0\) 處一定連續。

​ 證明：\(f\) 在 \(x_0\) 處可導 等價於 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\)。

\[\begin{aligned} &\Rightarrow \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))=0\\ &\Rightarrow \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=0\\ &\Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \end{aligned} \]

Th. \(f\) 在 \(x_0\) 處可導 等價於 \(f\) 在 \(x_0\) 處既左可導又右可導且二者相等。

例：求 \(f(x)=e^x\) 導函式（需要 \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\)）

例：求 \(f(x)=x^\alpha\) 導函式。

解：

1. 若 \(\alpha=0\)……

2. 若 \(\alpha\ne 0,\forall x\in(0,+\infin)\)，有

   \[\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}\frac{x^\alpha-x_0^\alpha}{x-x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{e^{\alpha\ln x}-e^{\alpha\ln x_0}}{\alpha\ln x-\alpha\ln x_0}\cdot\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}\cdot \alpha\\ =&x^\alpha\cdot x^{-1}\cdot\alpha \end{aligned} \]

   其中 \(\lim_{x\to x_0}\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\ln(1+\frac{x}{x_0}-1)}{\frac{x}{x_0}-1}\times \frac{1}{x_0}=\frac{1}{x_0}\)。

如果存在一個鄰域 \(U(x_0)\) 使得 \(f\) 在 \(U(x_0)\) 上有定義且 \(\forall x\in U(x_0)\) 有 \(f(x)\le f(x_0)\)。則稱 \(x_0\) 是 \(f\) 的極大值點，\(f(x_0)\) 稱為極大值。（極小值同理）極大值點和極小值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值。

費馬引理：若 \(f\) 在 \(U(x_0)\) 上有定義且 \(x_0\) 是 \(f\) 的一個極值點，又 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導，則 \(f’(x_0)=0\)。

證明：（極大值點）\(f'_+(x_0)\le 0,f'_-(x_0)\ge 0\)，又二者相等……。

Th. （導函式的介值定理）（達布（Darboux）定理）設 \(a,b\in\R,a<b\)，若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可導，且 \(f'_+(a)\neq f'_-(b)\)，不妨設 \(f'_+(a)<f'_-(b)\)，\(k\in(f'_+(a),f'_-(b))\)，則至少存在一點 \(x_0\in(a,b)\)，使得 \(f'(x_0)=k\)。

證：令 \(F(x)=f(x)-kx\)，則 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上可導，且 \(F'_+(a)=f'_+(a)-k<0,F'_-(b)=f'_-(b)-k>0\Rightarrow \exist x_1,x_2\in(a,b)且 x_1<x_2\) 使得 \(F(x_1)<F(a),F(x_2)<F(b)\)，因為 \(F\) 在 \([a,b]\) 上可導，所以 \(F\) 在 \([a,b]\) 上連續。由最值 Th 知，\(F\) 在 \([a.b]\) 上取到最小值，即 \(\exist x\in[a,b]\) 使得 \(F(x_0)=\min F([a,b])\)，滿足 \(x_0\neq a,x_0\neq b\)，由費馬引理知 \(F'(x_0)=0\Rightarrow f'(x_0)=k\)。

求導法則：

1. 四則運算（若 \(f,g\) 均在 \(x_0\) 處可導）

   1. \((f\pm g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\)。

   2. \((f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\)。

      \[\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x- x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}g(x)\cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\to x_0} f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\\=&f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) \end{aligned} \]

2. 若 \(g(x_0)\neq 0\)

   \((\frac{f}{g})'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}\)。

反函式求導法則

Th. 設 \(y=f(x),x\in I\)（\(I\) 是一個區間）與 \(x=g(y),y\in f(I)\) 互為反函式，且 \(f\) 在 \(I\) 上嚴格單調且處處連續，又設 \(x_0\in\mathring I\) 且 \(f'(x_0)\neq 0\)，則 \(g\) 在 \(y_0=f(x_0)\) 處可導，且 \(g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}\)。

證：因為 \(f\) 在 \(I\) 上嚴格單調且連續，所以由反函式存在連續性 Th 知，\(g\) 在 \(f(I)\) 上也嚴格單調且連續。

​ 於是，當 \(y\neq y_0\) 地趨向於 \(y_0\) 時有 \(g(y)\neq g(y_0)\) 地趨向於 \(g(y_0)\)。

​ 從而有 \(\lim_{y\to y_0}\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to y_0}\frac1{\frac{y-y_0}{g(y)-g(y_0)}}=\lim_{x\to x_0}\frac1{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}\)。

已知：\((\sin x)'_x=\cos x\neq 0,x=\arcsin y:(-1,1)\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。

\[\forall x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),y=\sin x\\ \forall y_0\in(-1,1),(\arcsin y)_y'|_{y=y_0}=\frac{1}{(\sin x)'_x|_{x_0=\arcsin y_0}}=\frac{1}{\cos(\arcsin y_0)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin y_0)}}=\frac{1}{1-y_0^2} \]

類似地：\((\arccos y)'_y|_{y=y_0}=-\frac{1}{\sqrt{1-y_0^2}}\)，\((\arctan y)'_y=\frac{1}{1+y^2}\)，\((\operatorname{arccot} y)'_y=-\frac{1}{1+y^2}\)。

複合函式求導的鏈式法則

設 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導，\(g\) 在 \(y=f(x_0)\) 處可導，且 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 的某個鄰域內有定義，則 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 處可導，且 \((g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\times f'(x_0)\)。

\[(g\circ f)'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{g\circ f(x)-g\circ f(x_0)}{x - x_0}=?\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\times \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

注意上式標 \(?\) 處不一定成立，因為 \(f(x)-f(x_0)=0\) 可能成立。

引理

設 \(f\) 在 \(U(x_0)\) 上有定義，則

\(f\) 在 \(x_0\) 上可導 \(\Leftrightarrow\) \(\exist\) 定義在 \(U(x_0)\) 上的在 \(x_0\) 處連續的函式 \(H(x_0)\)，s.t. \(\forall x\in U(x_0)\) 有 \(f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)\)。

證：

\(\Rightarrow\)：

\[H(x)=\begin{cases} f'(x_0)&,x=x_0\\ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&, x\neq x_0 且 x\in U(x_0) \end{cases} \]

\(\Leftarrow\) 也顯然。

證明鏈式求導法則

因為 \(g\) 在 \(y_0=f(x_0)\) 處可導，

所以 \(\exist\) 一個在 \(y_0\) 處連續的定義在 \(y_0\) 的某個鄰域上的函式 \(\Phi(y)\)，使得 \(g(y)-y(y_0)=\Phi(y)(y-y_0)\)，且有 \(\Phi(y_0)=g'(y_0)\)。

又因為 \(f\) 在 \(x_0\) 上可導，

所以 \(\exist\) 一個在 \(x_0\) 處連續的定義在 \(x_0\) 的某個鄰域內的函式 \(H(x)\)，使得 \(f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)\)。

因為 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 的某個鄰域內有定義，所以可令 \(y=f(x)\)，於是可得 \(g(f(x))-g(f(x_0))=\Phi(f(x))(f(x)-f(x_0))=\Phi(f(x))\cdot H(x)(x-x_0)\)。

於是又 \(\Phi(f(x))\cdot H(x)\) 在 \(x_0\) 處連續，故 \(g\circ f\) 在 \(x_0\) 處可導且 \((g\circ f)'(x_0)=\Phi(f(x_0))\cdot H(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)\)。

\[z=g(f(x)),y=f(x)\\ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} \]

例

\[x\in(0,+\infin),固定\alpha\in\R\\ (x^\alpha)'_x=(e^{\alpha\ln x})'_x=e^{\alpha\ln x}\cdot(\alpha\ln x)'_x=x^\alpha \cdot \alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} \]

\[(\alpha^x)'_x=(e^{x\ln \alpha})'_x=e^{x\ln \alpha}\cdot(x\ln \alpha)'_x=\alpha^{x}\ln \alpha \]

\[(\log_ay)'_y=\frac{1}{(a^x)'_x}=\frac{1}{a^x\ln a}=\frac{1}{y\ln a} \]

對數求導法

例

設 \(u(x),v(x)\) 在 \((a,b)\) 上可導，且 \(\forall x\in (a,b),u(x)>0\)，令 \(f(x)=[u(x)]^{v(x)}\)，求 \(f'(x),x\in(a,b)\)。

解：\(\because \forall x\in(a,b),f(x)=[u(x)]^{v(x)}>0,\therefore\ln f(x)=v(x)\ln u(x)\)。

\(\therefore \frac{f'(x)}{f(x)}=v'(x)\ln u(x)+v(x)\times\frac{u'(x)}{u(x)}\)。

\(\therefore f'(x)=[u(x)]^{v(x)}(v'(x)\ln u(x)+\frac{u'(x)v(x)}{u(x)})\)。

特別地，\(\frac{\operatorname{d}(x^x)}{\operatorname{d} x}=x^x(\ln x+1)\)。

例

設 \(f(x)=\frac{(x-1)^{2025}(x-4)^{100}}{(x^2+1)^{120}(x^2-x+1)^{\frac{1}{120}}}\)，求 \(f'(x),x>4\).

解：\(\ln f(x)=2025\ln (x-1)+100\ln(x-4)-120\ln(x^2+1)-\frac{1}{120}\ln(x^2-x+1)\).

\(\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2025}{x-1}+\frac{100}{x-4}-\frac{240x}{x^2+1}-\frac{2x-1}{120(x^2-x+1)}\).

例

求

\[f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}&,x\neq 0\\0&,x=0 \end{cases} \]

的導函式 \(f'(x)\)。

解：當 \(x\ne 0\) 時，\(f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}\cdot\frac{-1}{x^2}=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\)。

​ 當 \(x=0\) 時，\(f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0\)。

參變數函式的導數

設 \(y=y(x)\) 時由引數方程 \(\begin{cases} x=\varphi(x)\\y=\psi(x)\end{cases},t\in(a,b)\) 確定的，一直 \(\varphi(t),\psi(t)\) 均在 \((a,b)\) 上可導，又假設 \(\forall t\in(a,b),\varphi'(t)\neq 0\)，從而有 \(\forall t\in(a,b),\varphi(t)>0(或 \varphi(t)<0)\)，從而知：\(\varphi:(a,b)\to\varphi((a,b))\) 存在反函式 \(\varphi^{-1}:\varphi((a,b))\to (a,b)\) 且 \((\varphi^{-1})'(x)=\frac{1}{\varphi'(x)},x=\varphi(t)\)（或 \(t=\varphi^{-1}(x)\)）。

從而 \(y=y(x)=\psi(\varphi^{-1}(x)),x\in\varphi((a,b))\).

\[\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}|_x=\left(\psi(\varphi^{-1}(x))\right)'_x=\psi'(t)\cdot(\varphi^{-1}(x))'_x=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}|_{t=\varphi^{-1}(x)} \]

例：設 \(a>0,b>0,y=y(x)\) 由方程 \(\begin{cases}x=a\cos t\\ y =b\sin t\end{cases},t\in(0,\pi)\) 確定。

（\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},-a<x<a\)）

\[\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}y/\operatorname{d} t}{\operatorname{d}x /\operatorname{d} t}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{\frac{b}{a}x}{a\cdot\frac{1}{a}\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{bx}{a\sqrt{a^2-x^2}} \]

若平面曲線 \(C\) 的極座標方程 \(r=r(\theta),\theta\in(\alpha,\beta),0\le \alpha<\beta\le 2\pi\)。

\[\begin{cases} x=r(\theta)\cos\theta,\\ y=r(\theta)\sin\theta, \end{cases} \theta\in(\alpha,\beta) \]

求 \(C\) 上 \((r(\theta_0)\cos\theta_0,r(\theta_0)\sin\theta_0)\) 的導數。

\[\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}y/\operatorname{d}\theta}{\operatorname{d}x/\operatorname{d}\theta}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta} \]

高階導數

只說可導，只認為一階可導。

二階導數：設 \(y=f(x)\) 在 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) 上（一階）可導，若 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\) 存在，則稱 \(f\) 在 \(x_0\) 處二節可導，記作 \(f''(x)\) 或 \(f^{(2)}(x)\)。

（\(f^{(0)}(x)\) 只是記號，事實上導數從一階開始）

\((n+1)\) 階可導：類似二階導數定義。記作 \(f^{(n+1)}(x_0)\) 或 \(\frac{\operatorname{d}^{n+1}y}{\operatorname{d}x^{n+1}}\)。

\(f(x)=e^x\) 的 \(n\) 階導數 \(f^{(n)}(x)=e^x\)。

\(f(x)=\sin(x)\) 的 \(n\) 階導數 \(f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{n}{2}\pi)\)。

四則運算

設 \(u(x),v(x)\) 在 \((a,b)\) 上 \(n\) 階可導。

1. \((u(x)\pm v(x))^{(n)}=u^{(n)}(x)\pm v^{(n)}(x)\)。
2. \((u(x)\cdot v(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}(x)v^{k}(x)\)（萊布尼茲公式，歸納證明）。

設 \(y=y(x)\) 時由引數方程 \(\begin{cases} x=\varphi(x)\\y=\psi(x)\end{cases},t\in(a,b)\) 確定，\(\forall x\in(a,b),\varphi'(t)\ne 0\)，\(\varphi(x)\) 在 \((a,b)\) 上二階可導，求 \(\frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}x^2}\).

\[\frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}x^2}=\frac{\operatorname{d}(\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x})}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}(\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x})/\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x/\operatorname{d}t}=\frac{(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)})'_t}{\varphi'(t)}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{(\varphi'(t))^3} \]

微分

定義：設 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的某個鄰域 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) 內有定義（其中 \(\delta\) 是常數）.

若 \(\exist\) 常數 \(a\in \R\)，使得

\[\Delta y|_{x_0}=f(x+\Delta x)-f(x)=a\cdot\Delta x+o(\Delta x),\Delta x\to 0 \]

則稱 \(f\) 在 \(x_0\) 處可微。稱 \(a\cdot \Delta x\) 為 \(f\) 在 \(x_0\) 處的微分，記作 \(\operatorname{d} y|_{x=x_0}\) 或 \(\operatorname{d}f|_{x=x_0}\)。

Th. \(f\) 在 \(x_0\) 處可導 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 在 \(x_0\) 處可微，進一步有 \(a=f'(x_0)\)。

證：

• \(\Rightarrow\) 設 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導，則 \(f'(x_0)\in\R\).

  由導數定義知

  \[f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ \Rightarrow\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)-f'(x_0)\cdot\Delta x}{\Delta x}=0\\ \Rightarrow f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot\Delta x=o(\Delta x),\Delta x\to 0 \]

  令 \(a=f'(x_0)\) 即得 \(f\) 在 \(x_0\) 處可微.

• \(\Leftarrow\)

  \[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=a\cdot \Delta x+o(\Delta x),\Delta x\to 0\\ \Delta x\ne 0,\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-a\cdot \Delta x}{\Delta x}=o(1),\Delta x\to 0\\ \Rightarrow \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=a\in\R \]

  因此 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導且 \(f'(x_0)=a\).

微分中值定理及其應用

（設 \(a,b\in\R,a<b\)）

Rolle Th.

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 連續，\(f\) 在 \((a,b)\) 可導，且 \(f(a)=f(b)\)，則至少存在一點 \(x_0\in (a,b)\)，s.t. \(f'(x_0)=0\)。

證明：因為連續，由最值定理知，存在 \(x_1,x_2\in[a,b]\)，使得 \(\forall x\in[a,b]\)，有 \(f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)\)。

1. 若 \(f(x_1)=f(x_2)\)，則 \(f\) 為常值函式，任取 \(x_0\in(a,b)\)，結論成立。

2. 若 \(f(x_1)<f(x_2)\)，由於 \(f(a)=f(b)\)，故 \(x_1\) 和 \(x_2\) 中至少有一個屬於 \((a,b)\)，不妨設 \(x_1\in(a,b)\)，又由 \(f\) 在 \((a,b)\) 上可導得 \(f\) 在 \(x_1\) 處可導。

   由費馬引理及 \(x_1\) 為 \(f\) 的極小值點知由 \(f'(x_1)=0\)，令 \(x_0=x_1\) 結論成立。

例：設 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，在 \((a,b)\) 內可導，且 \(f(a)=f(b)=0\)，證明：\(\forall \alpha\in\R,\exist\zeta\in(a,b),\texttt{s.t.} \alpha f(\zeta)=f'(\zeta)\)

證：\(\forall \alpha\in\R\)，建構函式 \(F(x)=f(x)\cdot e^{-\alpha x},x\in[a,b]\)，則

​ \(F(a)=F(b)=0\)，又 \(F\) 在 \([a,b]\) 連續，在 \((a,b)\) 可導

​ 又 \(F'(x)=f'(x)e^{-\alpha x}-\alpha f(x)e^{-\alpha x}\)，

​ 由 Rolle Th 知，\(\exist x_0\in(a,b),\texttt{s.t.}F'(x_0)=0\)，

​ 即 \(f'(x_0)=\alpha f(x_0)\)，令 \(\zeta=x_0\) 即得結論成立。

Lagrange Mean-Value Th

（拉格朗日中值定理）

設 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，\(f\) 在 \((a,b)\) 上可導，則 \(\exist\) 一點 \(x_0\in(a,b)\)，使得 \(f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

證：構造輔助函式

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),x\in[a,b] \]

​ 有 \(F(a)=F(b)\)，\(F\) 在 \([a,b]\) 上連續，在 \((a,b)\) 上可導。

​ 由 Rolle Th 知，\(\exist x_0\in(a,b),\texttt{s.t.}F'(x_0)=0\).

​ 又 \(F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，把 \(x_0\) 代入得

\[f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

推論

1. 若 \(\forall x\in (a,b)\)，有 \(f'(x)=0\)，則有 \(\forall x\in(a,b),f(x)=f(\frac{a+b}{2})\).

2. 若 \(\forall x\in(a,b)\)，有 \(f'(x)=g'(x)\)，則有 \(\forall x\in(a,b),f(x)-g(x)=f(\frac{a+b}{2})-g(\frac{a+b}{2})\).

3. （導數極限 Th）\(x_0\in\R\)，設 \(f\) 在 \(U(x_0)\) 上連續，\(f\) 在 \(\mathring U(x_0)\) 上可導，且 \(\lim_{x\to x_0}f'(x)\) 存在，則 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導且 \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}f'(x)\)。

   證：不妨設 \(U(x_0)=(x_0-\rho,x_0+\rho)\)，其中 \(\rho>0\) 為常數，\(\mathring U(x_0)=U(x_0)-\{x_0\}\)。

   ​ 任取 \(x\in (x_0,x_0+\rho)\)，考慮 \(f\) 在區間 \([x_0,x]\) 上連續，在 \((x_0,x)\) 上可導，

   ​ 由 Lagrange Mean-Value Th 知，\(\exist\zeta_x\in(x_0,x)\)，使得 \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\zeta_x)\)，

   ​ 當 \(x\to x_0+\) 時，\(\zeta_x\to x_0+\)，於是有

   \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0+}f'(\zeta_x)\\ &=\lim_{t\to x_0+}f'(t)&(\zeta_x=t)\\ &=\lim_{x\to x_0+}f'(x) \end{aligned} \]

   ​ 同理可證 \(x\to x_0-\) 時。

   ​ 故 \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)=\lim_{x\to x_0}f'(x)\)。

Cauchy Mean-Value Th

（柯西中值定理）

設 \(f,g\) 在 \([a,b]\) 上連續，在 \((a,b)\) 內可導，

（有點像是 \(x=f(t),y=g(t)\) 這個圖形上的 Lagrange 中值定理（？））

且 \(\forall x\in(a,b),[f'(x)]^2+[g'(x)]^2\neq 0\) 且 \(g(a)\neq g(b)\)（這個條件可以換成 \(\forall x\in(a,b),g'(x)\neq 0\))，

則至少存在 \(x_0\in(a,b)\) 使得 \(\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。

證：令 \(F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)),x\in[a,b]\).

​ \(F(a)=0=F(b)\)，\(F\) 在 \([a,b]\) 連續，在 \((a,b)\) 可導.

​ 由 Rolle Th 知，\(\exist x_0\in(a,b)\)，使得 \(F'(x_0)=0\).

​ 又 \(F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)\)

​ 所以 \(f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x_0)\).（此時 \(g(x_0)\) 一定不為 \(0\)）

​ 所以 \(\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。

例. 證明：\(\forall h>-1,h\neq 0\) 有 \(\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h\)。

證：設 \(f(x)=\ln x\)，\(\ln(1+h)=f(1+h)-f(1)=f(1+\theta h)(1+h-1)=\frac{h}{1+\theta h}\)（\(\theta\in(0,1)\)）

1. 當 \(h>0\) 時，有

   \[\begin{aligned} &1<1+\theta h<1+h\\ \Rightarrow&\frac{1}{1+h}<\frac{1}{1+\theta h}<1\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\frac{h}{1+\theta h}<h\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h \end{aligned} \]

2. 當 \(-1<h<0\) 時，有

   \[\begin{aligned} &0<1+h<1+\theta h<1\\ \Rightarrow&1<\frac{1}{1+\theta h}<\frac{1}{1+h}\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\frac{h}{1+\theta h}<h\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h \end{aligned} \]

函式單調性

Th. 設 \(f\) 在區間 \(I\) 上可導，則 \(f\) 單增 \(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in\mathring I\) 有 \(f'(x)\ge 0\).（單減同理）

證：\(\Rightarrow\)：\(\forall x_0\in\mathring I,f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0\).

​ \(\Leftarrow\)：\(\forall x_1,x_2\in I\)，不妨設 \(x_1<x_2\)，

\[f(x_2)-f(x_1)=f'(x_1+\theta(x_2-x_1))(x_2-x_1)\ge 0\Rightarrow f(x_2)\ge f(x_1) \]

Th. 設 \(f\) 在 \((a,b)\) 上可導，則 \(f\uparrow\)（嚴格單增）\(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in(a,b),f'(x)\ge0\)，且不存在 \((\alpha,\beta)\subseteq(a,b)\)，使得 \(\forall x\in(\alpha,\beta)\) 有 \(f'(x)=0\).（嚴格單減類似）

不定式極限（未定式）

\(\frac{0}{0},\frac{\infin}{\infin},0\cdot\infin,1^{\infin},0+^{0},+\infin^0,+\infin-(+\infin),-\infin-(-\infin)\)（這裡都是趨近於，但是 \(0^0=1\) 這個式子中是真的等於 0）（中間幾種通常是指數、對數處理，後面兩種可能要分子有理化、通分之類的）

1. “\(\frac{0}{0}\)” 型洛必達（L'Hospital）法則

   設 \(x_0\in \R\)，\(f,g\) 在 \((x_0,x_0+\rho)\)（\(\rho>0\) 為常數）內可導，且滿足：

   1. \(\lim_{x\to x_0+}f(x)=0=\lim_{x\to x_0+}g(x)\);
   2. \(\forall x\in(x_0,x_0+\rho),g'(x)\neq 0\);
   3. \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a(\in \R 或 a=+\infin 或 -\infin或\infin)\);

   則 \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)}=a\).

   證：令

   \[\tilde f(x)=\begin{cases}f(x)&,x\in(x_0,x_0+\rho)\\0&,x=x_0\end{cases}\\ \tilde g(x)=\begin{cases}g(x)&,x\in(x_0,x_0+\rho)\\0&,x=x_0\end{cases} \]

   ​ 則 \(\tilde f,\tilde g\)，在 \([x_0,x_0+\rho)\) 上連續，\(\tilde f,\tilde g\) 在 \((x_0,x_0+\rho)\) 上可導，\(\forall t\in(x_0,x_0+\rho),\tilde g'(t)=g'(t)\neq 0\).

   ​ 任取 \(x\in (x_0,x_0+\rho)\)，對 \(\tilde f,\tilde g\) 在區間 \([x_0,x]\) 上用 Cauchy 中值定理得

   \[\exist \zeta_x\in(x_0,x),\texttt{s.t.}\frac{\tilde f'(\zeta_x)}{\tilde g'(\zeta_x)}=\frac{\tilde f(x)-\tilde f(x_0)}{\tilde g(x)-\tilde g(x_0)}=\frac{f(x)}{g(x)} \]

   ​ 又當 \(x\to x_0\) 時，\(\zeta_x\to x_0+\)，故 \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\).

   例：\(\lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos x}{\tan^2x}\).

   \[\lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos x}{\tan^2 x}=\lim_{x\to \pi}\frac{-\sin x}{2(\tan x)\sec^2x}=\lim_{x\to \pi}(-\frac{1}{2})\cos^3 x=\frac{1}{2} \]

   例：\(\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)

   \[\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6} \]

   例：\(\lim_{x\to 0+}\frac{\sqrt x}{1-e^{\sqrt x}}\).

   ​ 這道題最好不用洛必達法則，因為極限 \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}\) 不是這麼推的.

2. \(\frac{*}{\infin}\) 型洛必達法則

   設 \(x_0\in\R\)，函式 \(f\) 和 \(g\) 滿足：

   1. \(\exist \delta >0,f,g\) 在 \((x_0,x_0+\delta)\) 上可導且 \(\forall x\in(x_0,x_0+\delta),g'(x)\neq 0\);
   2. \(\lim_{x\to x_0+}g(x)=\infin\)（或 \(+\infin\) 或 \(-\infin\)）;
   3. \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a(a\in\R或+\infin或-\infin或\infin)\);

   則 \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)}=a\)。

   證：僅證當 \(a\in\R\) 時的情形：

   ​ 由#3得，\(\forall \epsilon>0,\exist x_1\in(x_0,x_0+\delta),\forall x\in(x_0,x_1)\)，有

   \[\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-a\right|<\frac{\epsilon}{3} \]

   ​ 任意取定 \(x\in(x_0,x_1)\)，由已知條件#1知 \(f,g\) 在 \([x,x_1]\) 上滿足 Cauchy 中值定理的條件，故有

   \[\exist \zeta_x\in(x,x_1),\texttt{s.t.}\frac{f'(\zeta_x)}{g'(\zeta_x)}=\frac{f(x_1)-f(x)}{g(x_1)-g(x)} \]

   ​ 從而有

   \[\left|\frac{f(x_1)-f(x)}{g(x_1)-g(x)}-a\right|<\frac{\epsilon}{3} \]

   ​ 又

   \[\begin{aligned} \left|\frac{f(x)}{g(x)}-a\right|&=\left|\frac{f(x)-a\cdot g(x)}{g(x)}\right|\\ &=\left|\frac{f(x)-f(x_1)-a(g(x)-g(x_1))+f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right|\\ &\le\left|\frac{f(x)-f(x_1)-a(g(x)-g(x_1))}{g(x)-g(x_1)}\right|\cdot \left|\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}\right|+\left|\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right|\\ &=\left|\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}-a\right|\cdot \left|\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}\right|+\left|\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right| \end{aligned} \]

   ​ 由條件#2知，\(\lim_{x\to x_0+}\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}=1,\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}=0\)，

   ​ 故 \(\exist x_2\in(x_0, x_1),\texttt{s.t.}\forall x\in(x_0,x_2)\) 有 \(\left|\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}\right|\le\frac{3}{2}\)，且 \(\left|\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right|<\frac{\epsilon}{3}\)，

   ​ 總之有 \(\forall \epsilon>0,\exist \tilde\delta=x_2-x_0>0,\forall x\in(x_0,x_0+\tilde\delta)\) 有 \(\left|\frac{f(x)}{g(x)}-a\right|<\epsilon\)，於是……

例

1. \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1}=\frac{2e}{1-e}\).

2. \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\frac{1}{x}-e}{x}=&\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\frac{1}{x}\cdot\frac{\frac x{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}}{1}\\ =&e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}\\ =&e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1-1-\ln(1+x)}{2x+3x^2}\\ =&-e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{2+6x}\\ =&-\frac{e}2 \end{aligned} \]

3. 求 \(\lim_{n\to +\infin}\frac{\ln n}{n}=0\).（先求 \(x\) 的，再用海涅定理）

4. 設 \(\mu>0\) 為常數，求 \(\lim_{x\to 0+}\frac{x^\mu}{\frac{1}{\ln x}}\).

   \[\begin{aligned} &\lim_{x\to 0+}\frac{x^\mu}{\frac{1}{\ln x}}\\ =&\lim_{x\to 0+}\frac{\ln x}{x^{-\mu}}\\ =&\lim_{x\to 0+}\frac{\frac1x}{-\mu x^{-\mu-1}}\\ =&\lim_{x\to 0+}\frac{x^{\mu}}{-\mu}\\ =&0 \end{aligned} \]

5. 設 \(\mu>0,a>1\) 常數，求 \(\lim_{x\to+\infin}\frac{x^{\mu}}{a^x}\)（一直求導，答案 \(0\)）。

6. \(\lim_{x\to +\infin}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=1\);

7. \[\begin{aligned} &\lim_{x\to 0}(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x})\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}\cdot\frac{\sin^2 x}{x^2}\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\\ =&2\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}\\ =&\frac{2}{3} \end{aligned} \]

8. \[\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0}(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x - 1}\cdot\frac{\cos x-1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}} \]

9. \[\begin{aligned} &\lim_{x\to 0+}(\frac{1}{x})^{\tan x}\\ =&\lim_{x\to 0+}e^{\tan x\ln\frac{1}{x}}\\ =&e^{\lim_{x\to 0+}\tan x\cdot(-\ln x)}\\ =&e^{\lim_{x\to 0+}\frac{\tan x}{x}\cdot(-x\ln x)}\\ =&e^0=1 \end{aligned} \]

10. \[\lim_{x\to 0+}x^x=\lim_{x\to 0+}e^{x\ln x}=e^0=1 \]

例

\[f(x)= \begin{cases} \frac{g(x)}{x}&,x\neq 0\\ 0&,x=0 \end{cases} \]

\(g(0)=g'(0)=0,g''(0)=3\)，求 \(f'(0)\).

解：

\[\begin{aligned} f'(0)=&\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x^2}\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{2x}\\ =&\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)-g(0)}{x-0}\\ =&\frac{3}{2} \end{aligned} \]

注意，有 \(g''(0)\) 說明 \(g\) 在 \(U(0)\) 內可導，但是不能保證二階可導，故只能用一次洛必達。

泰勒公式

設 \(f\) 在 \(x_0\) 處可導，\(f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)，\(f(x_0+\Delta x)-[f(x_0)+\Delta xf'(x_0)]=o(\Delta x),\Delta x\to 0\).

設 \(f\) 在 \(x_0\) 處 \(n\) 階可導（接下來都有），

令 \(T_n(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\)，約定 \(0^0=1,0!=1\).

稱 \(T_n(x)\) 為 \(f\) 在 \(x_0\) 處的（n 階）Taylor 多項式（函式）。

\(\forall x\in U(x_0)\)，令 \(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\)，稱公式 \(f(x)=T_n(x)+R_n(x)\) 為 Taylor 公式，稱 \(R_n(x)\) 為泰勒公式的餘項。

命題：（帶 Peano（佩亞諾）型餘項的 Taylor 定理）

​ 設 \(f\) 在 \(x_0\) 處 \(n\) 階可導，則有 \(R_n(x)=o((x-x_0)^n),x\to x_0\).

證：

\[\forall m=0,1,2,\dots,n-1\\ (R_n(x))^{(m)}=f^{(m)}(x)-(T_n(x))^{(m)}=f^{(m)}-\sum_{k=m}^{n}\frac{f^{(k)}(x)}{(k-m)!}(x-x_0)^{k-m}\\ (R_n(x))^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0)-f^{(m)}(x_0)=0\\ \]

\[\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{(R_n(x))'_x}{n(x-x_0)^{n-1}}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{(R_n(x))^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x-x_0)}{n!(x-x_0)}\\ =&\frac{1}{n!}\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)\right)\\ =&\frac{1}{n!}\cdot 0\\ =&0 \end{aligned} \]

注意：即使 \(f(x)\) 可以寫成 \(f(x)=p_n(x)+o((x-x_0)^n),x\to x_0\)（其中 \(p_n(x)\) 為 \(n\) 階多項式），這也不意味著 \(p_n(x)\) 就是 \(f(x)\) 的 Taylor 多項式。

特別地，稱 \(x_0=0\) 時的 Taylor 公式為 Maclaurin 公式（麥克勞林公式）。

幾個初等函式的 Maclaurin 公式

1. \(e^x=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}x^k+o(x^n),x\to 0\).
2. \(\sin x=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^{2n+1}),x\to 0\)（也可以寫成 \(\dots +o(x^{2n+2})\)）.
3. \(\cos x=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}+o(x^{2n+1}),x\to 0\).
4. \(\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^n),x\to 0\)（\(\ln(1+x),(1+x)^\alpha\) 不是基本初等函式，只是初等函式）.
5. \((1+x)^\alpha=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}x^k+o(x^n),x\to 0\)，其中 \(\alpha\in\R-\N\).
6. \(\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^nx^k+o(x^n),x\to 0\).