轉自謀神http://www.cnblogs.com/celia01/archive/2012/02/19/2358673.html
蘋果放入盤子問題
【1】 M相同，N相同，可以為空；（poj 1664）
f(m-n,n)：每個盤子都有蘋果
f(m,n-1)：至少有一個盤子沒有蘋果
或者用陣列實現遞迴也可以：
f[m][n] = f[m-n][n]+f[m][n-1]，其中f[][1],f[][0],f[1][],f[0][] 都為1。
即：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n];
= 1 // m== 0 || n == 1
= 0 // m < 0
int dfs(int m, int n){ //中直接輸出dfs（M，N）；
if (m<0)
return 0;
if (n==1||m==0)
return 1;
return dfs(m-n,n)+dfs(m,n-1);
}
【2】M相同，N相同，不可為空：
可以先把每個都放一個蘋果，這樣問題就轉化為：m-n個蘋果放進n個盤子裡，盤子允許空，即問題【1】
【3】M相同，N不同，可為空：（hdu 4390）
盤子是不一樣的，相當於m+n個位置放n個盤子，而且最後一個位置必須是盤子。這樣，每個盤子之前有幾個空位，就是有幾個蘋果，於是= C( m+n-1 , n-1 )
【4】M相同，N不同，不可為空：
在問題【3】中之所以轉換為m+n是因為，m可能大於n，這裡不可為空，自然m≥n了，可採用隔板法，在相同的m之間去隔板，而且最後一個蘋果後放置一塊板子，並且第一個蘋果前不能放置板子，即在m-1個空隙中設定n-1個隔板，所以為C( m-1 , n-1 )
【5】M不同，N相同，可為空：
sigma S(n,i) i=1..r //即總數
【6】M不同，N相同，不可為空：
S(n,r)
【7】M相同，N不同，不可為空：
r!*S(n,r)
【8】M不同，N不同，可為空：
共N^M種。每個蘋果都有N中不同的選擇，共M個蘋果
以下是證明和解釋
問題１：
m----->相同， n---> 相同,可為空
將m個蘋果放進n個盤子中，盤子允許空，有多少種方法。同時注意例如1、2和2、1這兩種方案是一種方案。
思路：
其實這跟將一個整數m分成n個整數之和是類似的，
設f[m][n]為將m分成最多n份的方案數，且其中的方案不重複，每個方案前一個份的值一定不會比後面的大。
則有：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n];
= 1 // m== 0 || n == 1
= 0 // m < 0
f[m][n - 1]相當於第一盤子中為0，只用將數分成n - 1份即可。
因為0不會大於任何數，相當於f[m][n - 1]中的方案前面加一個為0的盤子，
而且不違背f的定義。所以f[m][n - 1]一定是f[m][n]的方案的一部分，即含有0的方案數。
f[m - n][n]相當於在每個盤子中加一個數1。因為每個盤子中加一個數1不會影響f[m][n - 1]中的方案的可行性，也不會影響f的定義。
所以f[m - n][n]一定是f[m][n]的方案的一部分，即不含有0的方案數。
問題2:
問題描述：將整數N分成K個整數的和 且每個數大於等於A
小於等於B 求有多少種分法
int Dynamics(int n, int k, int min) //將n分為k個整數 最小的大於等於min,最大不超過B
{
if(n < min) return 0;//當剩下的 比min小,則不符合要求 返回0
if(k == 1) return 1;
int sum = 0;
for(int t = min; t <= B; t++)
{
sum += Dynamics(n-t, k-1, t);
}
return sum;
}
問題3：
m----->相同， n---> 相同,不能為空
將m個蘋果放進n個盤子中，有多少種方法。同時注意例如1、2和2、1這兩種方案是一種方案。
思路：
先把每個都放一個蘋果，這樣問題就轉化為：m-n個蘋果放進n個盤子裡，盤子允許空，即問題１
問題4：
第一類Stirling數是有正負的，其絕對值是包含n個元素的集合分作k個環排列的方法數目。
遞推公式為，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。
n個元素的集合分作k個環排列的方法是s(n,k)，那麼
1.可由前n-1個元素k-1個環的s(n-1,k-1); 即最後一個元素為單環，前n-1個構成k-1環；
2.第n個元素一定不是單環，可以由n-1個元素k個環，把第n個數任意的放入一個環中組成新環！即得到n個
元素的集合分作k個環，假設n個元素的集合分作k個環，那麼由於n,不在單環中，那麼可以把n所在的環中把n
剔除，即得到了n-1個元素，k個環，即充分與必要性都得證！
因而：S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。得證！
問題5：
第二類Stirling數是把包含n個元素的集合劃分為正好k個非空子集的方法的數目。
//n－>有區別，K－>非空,沒區別
遞推公式為，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
上面的遞推式可以用組合證明：
一方面，如果將第n個元素單獨拿出來劃分成1個集合，那麼方法數是S(n-1,k-1)；
另一方面，如果第n個元素所在的集合不止一個元素，那麼可以先將剩下的n-1個元素劃分好了以後再選一個集合把第n個元素放進去，方法數是k*S(n-1,k)；
有加法原理得證
問題6：
Bell數和Stirling數
B(n)是包含n個元素的集合的劃分方法的數目。
集合的劃分：非空，
B(0) = 1, B(1) = 1,
B(n) = Sum(1,n) S(n,k).其中Sum(1,n)表示對k從1到n求和，s是第二類stirling數
問題7：
當Ｋ是有區別的時候，則一般都要在沒有區別的基礎上乘以K的全排列。