- 1. 體重變化系統動態微分方程及傳遞函式
- 2. 比例控制相關公式
- 3. 終值定理
- 4. 積分控制相關公式
- 5. 比例積分控制相關公式
- 6. 含有限制條件的控制器設計相關公式（飽和函式）
第七章基於傳遞函式的控制器設計（1）——比例積分控制，主要討論了比例積分控制的基本原理、特性及其在體重控制等例項中的應用。以下是對本章內容的詳細解讀：
1. 體重變化系統動態微分方程及傳遞函式
體重變化系統可以描述為一個動態微分方程：
\(7000\frac{dm(t)}{dt}+10\alpha m(t)=u(t)+d(t)\)
其中，\(m(t)\)為體重，\(\alpha\)為勞動強度係數，\(u(t)\)為每日淨熱量輸入，\(d(t)\)為擾動量。
該系統的傳遞函式為：
\(G(s)=\frac{X(s)}{U(s)+D(s)+7000x_{0}}=\frac{1}{7000s + 10\alpha}\)
其中，\(X(s)\)為輸出，\(D(s)\)為擾動的拉普拉斯變換，\(x_{0}\)為初始體重。
2. 比例控制相關公式
比例控制是一種簡單的控制方式，其控制量為誤差的線性函式：
\(u(t)=K_{P}e(t)\)
其中，\(K_{P}\)為比例增益，\(e(t)\)為誤差。
在拉普拉斯變換域中，比例控制可以表示為：
\(U(s)=K_{P}E(s)\)
採用比例控制時，系統輸出可以表示為：
\(X(s)=\frac{K_{P}R(s)+D(s)+7000x_{0}}{7000s + 10\alpha + K_{P}}\)
透過分式分解，可以得到系統輸出的時域表示式：
\(x(t)=\frac{K_{P}r-\alpha C}{K_{P}+10\alpha}+\left(x_{0}-\frac{K_{P}r-\alpha C}{K_{P}+10\alpha}\right)e^{-\frac{K_{P}+10\alpha}{7000}t}\)
系統穩態誤差為：
\(e_{ss}=r - x(\infty)=\frac{10\alpha r+\alpha C}{K_{P}+10\alpha}\)
3. 終值定理
終值定理用於快速計算系統穩態值，前提是穩態值存在：
\(\lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s)\)
4. 積分控制相關公式
積分控制透過累積誤差來消除穩態誤差：
\(U(s)=C(s)E(s)=\frac{K_{I}}{s}E(s)\)
其中，\(K_{I}\)為積分增益。
積分控制的時域表示式為：
\(u(t)=K_{I}\int_{0}^{t}e(t)dt\)
引入積分控制後，系統輸出可以表示為二階系統的形式，並可以求出阻尼比和固有頻率等引數。
5. 比例積分控制相關公式
比例積分控制結合了比例控制和積分控制的優點：
\(C(s)=K_{P}+\frac{K_{I}}{s}\)
其時域表示式為：
\(u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int_{0}^{t}e(t)dt\)
6. 含有限制條件的控制器設計相關公式（飽和函式）
在實際應用中，控制量往往受到物理限制，如執行器的最大輸出力。這時可以使用飽和函式來限制控制量的幅度：
\(u(t)=\begin{cases}u_{max}&u(t)>u_{max}\\u(t)&u_{max}\geq u(t)\geq u_{min}\\u_{min}&u(t)<u_{min}\end{cases}\)
其中，\(u_{max}\)和\(u_{min}\)分別為控制量的最大值和最小值。
綜上所述，本章透過體重控制等例項，詳細闡述了比例積分控制的基本原理、特性及相關公式，為控制器設計提供了理論基礎和實用方法。