旋轉矩陣推導

一、前言：
周而復始的搜尋、迴圈往復的記憶，但終究還是不深刻，不能像老師一樣交給一個新人，所謂提綱挈領，名師指導還是相當有必要的，因為所有的坎，名師都遇到過，而且總結了自己的一套方法論。這樣才能夠言簡意賅，才能夠讓一個什麼都不懂（有點誇張），略等一些技術背景的人，很容易的就能夠理解並且掌握。閒言少敘，下面來看下矩陣變換中的旋轉矩陣的推導是怎麼推匯出來的。本文並不涉及為什麼使用四維矩陣表示三維向量的旋轉，這些知識將在後面的文章中一一涉及，有興趣的或者錙銖必較（這裡作褒義會意）的讀者請關注博主接下來的學習歷程。
二、推導過程
2.1二維向量的旋轉

2.2三維向量的旋轉
二維擴充套件到三維，其實還是蠻簡單的，我們不妨將上面的圖，再修改下，就可以得到如下圖：

正如你看到的，新增了一個+z，就變成了三維空間了。上面將OP順時針繞著z軸旋轉了θ角度。這裡我們要注意兩點：
（1）我們站在xy平面，朝著z軸的正方向看，我們揮舞著手臂，從OP轉動θ角度到達了OP’，這裡是順時針沿著z軸旋轉了θ角度。
（2）搞清楚座標系是左手座標系還是右手座標系，為什麼要搞清楚這個呢？因為為了接下來的同理推導，哈哈為了省事。

2.3如何確定是左手座標系，還是右手座標系。
這個問題，我的習慣是用手指模擬。伸出一隻手，大拇指是x軸正方向、食指是y軸正方向、中指是z軸正方向。哪隻手這樣做之後能和座標軸重合，那隻手就是左/右座標系。如下圖所示，可以確定此座標系為左手座標系：

2.4繞z軸旋轉θ角度的矩陣表示

好事之徒，這裡就會問，哎？這裡z’經過矩陣變換之後，z軸結果沒有變化，對呀為啥沒有變化呢？你覺得會有變化嗎？可以這麼理解。

我們繞著z軸旋轉，其實即使向量的在圓錐體上的移動，但是投射到z上的座標是固定長度的，也可看出，繞某個軸旋轉，其實這個點或者是向量的某軸座標不變。例如，繞x軸旋轉，則x軸的座標不變；繞y軸旋轉，y軸座標不變；繞z軸旋轉則z軸不變。

2.5繞x軸、y軸旋轉θ角度的矩陣表示
我們此時要做的就是轉換座標軸的位置，使其和我們上面的繞z軸推導進行硬套公式即可。如下所示，我們首先，記住首先，就是講x軸方針原來z軸的位置。

此時到底是（一）還是（二）呢？回顧我們之前寫的一句話，就是該座標系是左手座標系還是右手座標系。經過驗證（一）是左手座標系；（二）是右手座標系。又因為我們之前的座標系是左手座標系，所以這裡選擇（一）。
ok此時，我們有了座標系，我們只要把對應的變數替換上去即可。如下圖所示：

推導如下：

至此，我們完成了繞x、y、z三個軸旋轉的矩陣推導過程。