最大公約數與歐幾里得演算法

最大公約數

《哈代數論》第1.1節首先對整除性作出定義：

稱一個整數 a 能被另一個整數 b (b≠0) 整除（divisible），假設存在第3個整數 c 使得 a = bc。用記號 b|a 來表示 a 被 b 整除，或 b 是 a 的一個因子（divisor）。

第2.9節給出了最大公約數的定義：

定義兩個不全為零的整數 a 和 b 的最大公約數（highest common divisor）d：如果 d 是能同時整除 a 和 b 的最大正整數。記為 d = (a,b)。於是有 (0,a) = |a|。可以用同樣的方法定義任意一組正整數 a,b,c,...,k 的最大公約數 (a,b,c,...,k)。

highest common divisor 或 highest common factor 是英國數學界對最大公約數的稱呼（本書作者G.H.哈代和E.M.賴特都是英國數學家），而更為普遍的說法是 gcd（greatest common divisor）。

第2.9節接著證明了下面這個重要的定理（注意：這裡我們所說的數都是指整數，因為這是數論）：

定理25　對任意給定的不全為零的整數 a 和 b，令 d = (a,b)，方程 ax + by = n 有整數解 x, y，當且僅當 d|n。特別地，ax + by = d 可解。

證明　對任意給定的不全為零的整數 a 和 b，考慮所有形如 ax + by 的整陣列成的集合 S，假設 c 是 S 中的最小正數（S 中含有正數是顯而易見的），如果 n 是 S 中任何一個正數，那麼對所有的 z，n - zc ∈ S。如果 r 是 n 被 c 除得到的餘數，且 n = zc + r，則有 r ∈ S 且 0 ≤ r < c。既然 c 是 S 中的最小正數，故有 r = 0 以及 n = zc。同樣的推理對 S 中的負數也成立。所以，S 是某個正數 c 的倍數 zc 組成的集合。由於 c 整除 S 中的每一個數，所以它必整除 a 和 b，於是 c ≤ d。另一方面，由 d|a, d|b 可得 d|(ax + by)，所以 d 整除 S 中的每一個數，特別有 d|c。由此推得 c = d，於是 S 就是 d 的倍陣列成的集合。這就證明了定理。

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歐幾里得演算法

第12.3節介紹了歐幾里得演算法（在中國稱為輾轉相除法，可追溯至東漢出現的《九章算術》）：

假設 a ≥ b > 0。用 b 除 a 得到 a = q₁b + r₁，其中 0 ≤ r₁ < b。如果 r₁ ≠ 0，則可以重複這個程式得到 b = q₂r₁ + r₂，其中 0 ≤ r₂ < r₁。如果 r₂ ≠ 0，則有 r₁ = q₃r₂ + r₃，其中 0 ≤ r₃ < r₂。如此一直下去。非負整數 b, r₁, r₂, … 構成一個遞減序列，故必然有某個 n 使得 r_n+1 = 0。這個程式中的最後兩步是
　　　　　　　　r_n-2 = q_nr_n-1 + r_n (0 < r_n < r_n-1)，
　　　　　　　　r_n-1 = q_n+1r_n。
關於 r₁, r₂, … 的這一組方程稱為歐幾里得演算法。

正如同下面的定理所指出的那樣，歐幾里得演算法包含了求 a 和 b 的最大公約數的常用程式。

定理207　r_n = (a,b)。

證明　令 d = (a,b)。那麼，通過連續使用這個演算法，我們得到
　　　　　　　　d|a, d|b → d|r₁ → d|r₂ → … → d|r_n，
所以 d ≤ r_n。再次倒推回去，即得
　　　　　　　　r_n|r_n-1 → r_n|r_n-2 → r_n|r_n-3 → … → r_n|b → r_n|a。
於是 r_n 同時整除 a 和 b。由於 d 是 a 和 b 的公約數中的最大者，故得到 r_n ≤ d，從而有 r_n = d。

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參考資料

1. 哈代數論(第6版)，[英]G.H.哈代 E.M.賴特 著，張明堯 張凡 譯，人民郵電出版社，2010年10月第1版
2. An Introduction to the Theory of Numbers, 6th Edition, G. H. Hardy, Edward M. Wright, Oxford University Press, September 15, 2008
3. 維基百科：輾轉相除法